Производственная функция фирмы Q=10(K0.7)( L0.1). Фирма может затратить на покупку 2 факторов производства 4000р. Цена еденици капитала равна 28р. Цена еденицы труда 10р. Найти с ааким маштабом производства столкнется фирма при производстве товара? Какое

Для решения задачи, давайте последовательно разберем все этапы.

Шаг 1: Определение цен на факторы производства

Дано:
- Цена единицы капитала (K) = 28 руб.
- Цена единицы труда (L) = 10 руб.
- Бюджет на факторы производства = 4000 руб.

Шаг 2: Определение количества фак...

Обозначим: - \( K \) - количество капитала - \( L \) - количество труда Сначала запишем уравнение для бюджета: \[ 28K + 10L = 4000 \] Чтобы максимизировать выпуск продукции, нужно использовать правило равенства предельной производительности на единицу стоимости: \[ \frac{MPK} = \frac{MPL} \] Где: - \( MP_K \) - предельная производительность капитала - \( MP_L \) - предельная производительность труда - \( P_K \) - цена капитала - \( P_L \) - цена труда Сначала найдем предельные производительности: \[ Q = 10(K^{0.7})(L^{0.1}) \] Теперь найдем производные: \[ MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K} = 10 \cdot 0.7 K^{-0.3} L^{0.1} = 7 K^{-0.3} L^{0.1} \] \[ MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = 10 \cdot 0.1 K^{0.7} L^{-0.9} = K^{0.7} L^{-0.9} \] Теперь подставим в уравнение равенства предельной производительности: \[ \frac{7 K^{-0.3} L^{0.1}}{28} = \frac{K^{0.7} L^{-0.9}}{10} \] Упрощаем: \[ \frac{7 L^{0.1}}{28 K^{0.3}} = \frac{K^{0.7}}{10 L^{0.9}} \] Перемножим обе стороны: \[ 7 L^{1} = \frac{28}{10} K^{1} K^{0.3} \Rightarrow 7 L = 2.8 K^{1.3} \] Теперь у нас есть два уравнения: 1. \( 28K + 10L = 4000 \) 2. \( 7L = 2.8K^{1.3} \) Из второго уравнения выразим \( L \): \[ L = \frac{2.8}{7} K^{1.3} = 0.4 K^{1.3} \] Подставим это значение в первое уравнение: \[ 28K + 10(0.4 K^{1.3}) = 4000 \] \[ 28K + 4K^{1.3} = 4000 \] Это уравнение можно решить численно или графически. Для простоты, давайте подберем значение \( K \) и найдем соответствующее \( L \). Пробуем \( K = 100 \): \[ 28 \cdot 100 + 4 \cdot 100^{1.3} \approx 2800 + 4 \cdot 215.44 \approx 2800 + 861.76 \approx 3661.76 \] Пробуем \( K = 110 \): \[ 28 \cdot 110 + 4 \cdot 110^{1.3} \approx 3080 + 4 \cdot 267.64 \approx 3080 + 1070.56 \approx 4150.56 \] Таким образом, \( K \) примерно равно 105. Теперь подставим \( K = 105 \): \[ L = 0.4 \cdot 105^{1.3} \approx 0.4 \cdot 139.36 \approx 55.74 \] Теперь подставим \( K \) и \( L \) в производственную функцию: \[ Q = 10(105^{0.7})(55.74^{0.1}) \approx 10 \cdot 42.43 \cdot 1.73 \approx 735.5 \] Если наймем дополнительно 10 единиц труда, то \( L \) станет \( 65.74 \): \[ Q_{new} = 10(105^{0.7})(65.74^{0.1}) \approx 10 \cdot 42.43 \cdot 1.81 \approx 769.5 \] Изменение выпуска: \[ \Delta Q = 769.5 - 735.5 = 34 \] Если \( K = 25 \): \[ L = 0.4 \cdot 25^{1.3} \approx 0.4 \cdot 12.25 \approx 4.9 \] Теперь подставим в производственную функцию: \[ Q_{new} = 10(25^{0.7})(4.9^{0.1}) \approx 10 \cdot 9.88 \cdot 1.51 \approx 149.5 \] 1. Оптимальные значения факторов: \( K \approx 105 \), \( L \approx 55.74 \). 2. Изменение выпуска при найме 10 единиц труда: \( \Delta Q \approx 34 \). 3. Изменение выпуска при сокращении капитала до 25 единиц: \( Q \approx 149.5 \). Таким образом, мы нашли все необходимые значения и изменения в выпуске продукции.