Производственная функция фирмы Q=10(K0.7)( L0.1). Фирма может затратить на покупку 2 факторов производства 4000р. Цена еденици капитала равна 28р. Цена еденицы труда 10р. Найти с ааким маштабом производства столкнется фирма при производстве товара? Какое

Для решения задачи, давайте последовательно разберем все этапы.

Шаг 1: Определение цен на факторы производства

Дано:
- Цена единицы капитала (K) = 28 руб.
- Цена единицы труда (L) = 10 руб.
- Бюджет на факторы производства = 4000 руб.

Шаг 2: Определение количества фак...

Обозначим:

• $K$ - количество капитала
• $L$ - количество труда

Сначала запишем уравнение для бюджета:

$$28K + 10L = 4000$$

Чтобы максимизировать выпуск продукции, нужно использовать правило равенства предельной производительности на единицу стоимости:

\frac{MPK} = \frac{MPL}

Где:

• $MP_K$ - предельная производительность капитала
• $MP_L$ - предельная производительность труда
• $P_K$ - цена капитала
• $P_L$ - цена труда

Сначала найдем предельные производительности:

$$Q = 10(K^{0.7})(L^{0.1})$$

Теперь найдем производные:

$$MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K} = 10 \cdot 0.7 K^{-0.3} L^{0.1} = 7 K^{-0.3} L^{0.1}$$

$$MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = 10 \cdot 0.1 K^{0.7} L^{-0.9} = K^{0.7} L^{-0.9}$$

Теперь подставим в уравнение равенства предельной производительности:

$$\frac{7 K^{-0.3} L^{0.1}}{28} = \frac{K^{0.7} L^{-0.9}}{10}$$

Упрощаем:

$$\frac{7 L^{0.1}}{28 K^{0.3}} = \frac{K^{0.7}}{10 L^{0.9}}$$

Перемножим обе стороны:

$$7 L^{1} = \frac{28}{10} K^{1} K^{0.3} \Rightarrow 7 L = 2.8 K^{1.3}$$

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $28K + 10L = 4000$
2. $7L = 2.8K^{1.3}$

Из второго уравнения выразим $L$:

$$L = \frac{2.8}{7} K^{1.3} = 0.4 K^{1.3}$$

Подставим это значение в первое уравнение:

$$28K + 10(0.4 K^{1.3}) = 4000$$

$$28K + 4K^{1.3} = 4000$$

Это уравнение можно решить численно или графически. Для простоты, давайте подберем значение $K$ и найдем соответствующее $L$.

Пробуем $K = 100$:

$$28 \cdot 100 + 4 \cdot 100^{1.3} \approx 2800 + 4 \cdot 215.44 \approx 2800 + 861.76 \approx 3661.76$$

Пробуем $K = 110$:

$$28 \cdot 110 + 4 \cdot 110^{1.3} \approx 3080 + 4 \cdot 267.64 \approx 3080 + 1070.56 \approx 4150.56$$

Таким образом, $K$ примерно равно 105.

Теперь подставим $K = 105$:

$$L = 0.4 \cdot 105^{1.3} \approx 0.4 \cdot 139.36 \approx 55.74$$

Теперь подставим $K$ и $L$ в производственную функцию:

$$Q = 10(105^{0.7})(55.74^{0.1}) \approx 10 \cdot 42.43 \cdot 1.73 \approx 735.5$$

Если наймем дополнительно 10 единиц труда, то $L$ станет $65.74$:

$$Q_{new} = 10(105^{0.7})(65.74^{0.1}) \approx 10 \cdot 42.43 \cdot 1.81 \approx 769.5$$

Изменение выпуска:

$$\Delta Q = 769.5 - 735.5 = 34$$

Если $K = 25$:

$$L = 0.4 \cdot 25^{1.3} \approx 0.4 \cdot 12.25 \approx 4.9$$

Теперь подставим в производственную функцию:

$$Q_{new} = 10(25^{0.7})(4.9^{0.1}) \approx 10 \cdot 9.88 \cdot 1.51 \approx 149.5$$

1. Оптимальные значения факторов: $K \approx 105$, $L \approx 55.74$.
2. Изменение выпуска при найме 10 единиц труда: $\Delta Q \approx 34$.
3. Изменение выпуска при сокращении капитала до 25 единиц: $Q \approx 149.5$.

Таким образом, мы нашли все необходимые значения и изменения в выпуске продукции.