Главная
Библиотека
Микро-, макроэкономика
Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид: Q(x1, x2) = 2.5 * x1^0.4 * x2^0.6. Эта функция ограничивается выражение...

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид: Q(x1, x2) = 2.5 * x1^0.4 * x2^0.6. Эта функция ограничивается выражением 50x1 + 25x2 <= 1400. Найдите максимально возможный объём производства.

«Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид: Q(x1, x2) = 2.5 * x1^0.4 * x2^0.6. Эта функция ограничивается выражением 50*x1 + 25*x2 <= 1400. Найдите максимально возможный объём производства.»

24 октября 2025
Микро-, макроэкономика

Условие:

Производственная функция Кобба-Дугласа выражает зависимость объёма производства \( Q \) от создающих его факторов производства труда \( x_{1} \) и капитала \( x_{2} \) и имеет вид:
\[
Q(x)=A \cdot x_{1}^{\alpha} \cdot x_{2}^{\beta}
\]

где \( A=2.5 \) - технологический коэффициент; \( \alpha=0.4 \) и \( \beta=1-\alpha=0.6 \) - коэффициенты эластичности. Пусть на некотором производстве эта функция ограничивается выражением
\[
50 x_{1}+25 x_{2} \leq V
\]

где \( V=1400 \) - объём ресурсов (человеческих и материальных).
Найдите максимально возможный объём производства методом штрафных функций. Тип штрафа - логарифмический. Значение штрафного параметра равно 0.1 .
Ответы дайте с точностью до трёх значащих цифр.

Решение:

Для решения задачи максимизации объёма производства с использованием метода штрафных функций, следуем следующим шагам: 1. **Запишем функцию производства**: Производственная функция имеет вид: Q(x) = A * x1^α * x2^β Подставим значения: Q(x) = 2.5 * x1^0.4 * x2^0.6 2. **Запишем ограничение**: Ограничение по ресурсам: 50 * x1 + 25 * x2 ≤ V Подставим значение V: 50 * x1 + 25 * x2 ≤ 1400 3. **Запишем штрафную функцию**: Используем логарифмический штраф. Штрафная функция будет выглядеть следующим образом: L(x1, x2) = Q(x1, x2) - k * ln(где k = 0.1) * max(0, 50 * x1 +...