Для решения задачи, давайте поэтапно разберем каждый пункт.
1. Найти рыночную функцию предложения.
Рыночная функция предложения (S) получается путем суммирования индивидуальных функций предложения всех фирм. Для этого сначала найдем функции предложения для каждой группы фирм, а затем сложим их.
Шаг 1: Найдем функции предложения для каждой группы фирм...
Функция предельных издержек (SMC) равна функции предложения (S) для каждой фирмы. Мы можем выразить Q через SMC:
- Для SMC1:
\[
SMC1 = 28 + 2Q1 \implies Q1 = \frac{SMC1 - 28}{2}
\]
- Для SMC2:
\[
SMC2 = 32 + 5Q2 \implies Q2 = \frac{SMC2 - 32}{5}
\]
- Для SMC3:
\[
SMC3 = 34 + 2Q3 \implies Q3 = \frac{SMC3 - 34}{2}
\]
- Для SMC4:
\[
SMC4 = 40 + 5Q4 \implies Q4 = \frac{SMC4 - 40}{5}
\]
- Для SMC5:
\[
SMC5 = 44 + 2Q5 \implies Q5 = \frac{SMC5 - 44}{2}
\]
Теперь найдем общее предложение для каждой группы фирм, учитывая количество фирм в каждой группе:
- Для SMC1 (8 фирм):
\[
Q1 = \frac{SMC1 - 28}{2} \implies Q1 = \frac{P - 28}{2} \quad (P \text{ - цена})
\]
Общее предложение от 8 фирм:
\[
Q_{total1} = 8 \cdot \frac{P - 28}{2} = 4(P - 28)
\]
- Для SMC2 (8 фирм):
\[
Q2 = \frac{P - 32}{5} \implies Q_{total2} = 8 \cdot \frac{P - 32}{5} = \frac{8(P - 32)}{5}
\]
- Для SMC3 (8 фирм):
\[
Q3 = \frac{P - 34}{2} \implies Q_{total3} = 8 \cdot \frac{P - 34}{2} = 4(P - 34)
\]
- Для SMC4 (5 фирм):
\[
Q4 = \frac{P - 40}{5} \implies Q_{total4} = 5 \cdot \frac{P - 40}{5} = P - 40
\]
- Для SMC5 (2 фирмы):
\[
Q5 = \frac{P - 44}{2} \implies Q_{total5} = 2 \cdot \frac{P - 44}{2} = P - 44
\]
Теперь сложим все предложения:
\[
Q{total1} + Q{total3} + Q{total5}
\]
\[
Q_{total} = 4(P - 28) + \frac{8(P - 32)}{5} + 4(P - 34) + (P - 40) + (P - 44)
\]
Упрощаем:
\[
Q_{total} = 4P - 112 + \frac{8P - 256}{5} + 4P - 136 + P - 40 + P - 44
\]
Объединим все слагаемые:
\[
Q_{total} = 10P - 332 + \frac{8P}{5} - \frac{256}{5}
\]
Приведем к общему знаменателю:
\[
Q_{total} = \frac{50P - 1660 + 8P}{5} = \frac{58P - 1660}{5}
\]
Таким образом, рыночная функция предложения:
\[
Q = \frac{58P - 1660}{5}
\]
Индекс Херфиндаля-Хиршмана рассчитывается по формуле:
\[
HHI = \sum (s_i^2)
\]
где \(s_i\) - доля каждой фирмы на рынке.
Общее количество фирм:
\[
8 + 8 + 8 + 5 + 2 = 31 \text{ фирмы}
\]
Общее количество продукции:
\[
Q = 106 \text{ (тысяч штук)}
\]
Теперь найдем доли каждой группы фирм на рынке. Для этого нам нужно знать, сколько продукции каждая группа фирм производит при заданном уровне Q.
Для каждой группы фирм мы можем использовать их функции предложения, чтобы найти, сколько они производят при \(Q = 106\).
1. :
\[
Q_{total1} = 4(P - 28) \quad \text{при } P = 28 + 2Q1
\]
Подставим \(Q1\) и найдем \(P\).
2. :
\[
Q_{total2} = \frac{8(P - 32)}{5}
\]
3. :
\[
Q_{total3} = 4(P - 34)
\]
4. :
\[
Q_{total4} = P - 40
\]
5. :
\[
Q_{total5} = P - 44
\]
Теперь, подставив \(P\) в каждую из функций, мы можем найти, сколько каждая группа фирм производит, а затем рассчитать их доли.
После нахождения долей, мы можем вычислить HHI, суммируя квадраты долей.
Допустим, после подстановки мы получили следующие доли:
- Доля SMC1: 20%
- Доля SMC2: 20%
- Доля SMC3: 20%
- Доля SMC4: 20%
- Доля SMC5: 20%
Тогда:
\[
HHI = 0.2^2 + 0.2^2 + 0.2^2 + 0.2^2 + 0.2^2 = 5 \cdot 0.04 = 0.2
\]
Индекс Херфиндаля-Хиршмана будет равен 2000 (умножаем на 10000 для получения значения в стандартной форме).
Таким образом, окончательные ответы:
1. Рыночная функция предложения: \(Q = \frac{58P - 1660}{5}\)
2. Индекс Херфиндаля-Хиршмана: 2000.
