Спрос на товар, производимый фирмой, задан уравнением D = 30 - 3р, где р - цена. Издержки зависят от объема производства так, что ТС(Q) = 3 + Q2, где Q - объем реализации (спроса). Объем выпуска Q = KL; цены ресурсов - 1 и 1 доллар. Необходимо найти

Чтобы найти оптимальный объем производства и оптимальную комбинацию производственных факторов, следуем следующим...

Спрос на товар задан уравнением:

$$D = 30 - 3p$$

Чтобы найти цену в зависимости от объема спроса (Q), выразим p:

$$Q = 30 - 3p$$

$$3p = 30 - Q$$

$$p = \frac{30 - Q}{3}$$

Общие издержки (TC) зависят от объема производства (Q):

$$TC(Q) = 3 + Q^2$$

Предельные издержки (MC) — это производная от общих издержек по объему:

$$MC = \frac{d(TC)}{dQ} = \frac{d(3 + Q^2)}{dQ} = 2Q$$

Предельный доход (MR) — это производная от общей выручки. Общая выручка (TR) равна цене (p) умноженной на объем (Q):

$$TR = p \cdot Q = \left(\frac{30 - Q}{3}\right) \cdot Q = \frac{30Q - Q^2}{3}$$

Теперь найдем предельный доход:

$$MR = \frac{d(TR)}{dQ} = \frac{d\left(\frac{30Q - Q^2}{3}\right)}{dQ} = \frac{30 - 2Q}{3}$$

Оптимальный объем производства достигается, когда предельный доход равен предельным издержкам:

$$MR = MC$$

$$\frac{30 - 2Q}{3} = 2Q$$

Умножим обе стороны на 3:

$$30 - 2Q = 6Q$$

$$30 = 8Q$$

$$Q = \frac{30}{8} = 3.75$$

Объем выпуска Q равен произведению факторов производства K и L:

$$Q = KL$$

Так как цена ресурсов K и L равна 1 доллару, то:

$$K + L = 3.75$$

Для нахождения оптимальной комбинации факторов, предположим, что K = L (что часто является оптимальным в условиях симметрии):

$$K = L = x$$

Тогда:

$$2x = 3.75$$

$$x = \frac{3.75}{2} = 1.875$$

Оптимальный объем производства составляет 3.75 единиц, а оптимальная комбинация производственных факторов K и L равна 1.875 для каждого фактора.