Задача 2. «Необитаемый» рынок (всего 40 баллов) Живут поживают и добра наживают на необитаемом острове «Смысляндия» в центре одного из океанов три товарища: Фермер, Рыбак и Моряк. Каждый из жителей этого чудо острова обладает своей (индивидуальной)

8 октября 2025
Микро-, макроэкономика

Условие:

Задача 2. «Необитаемый» рынок (всего 40 баллов)
Живут поживают и добра наживают на необитаемом острове «Смысляндия» в центре одного из океанов три товарища: Фермер, Рыбак и Моряк. Каждый из жителей этого чудо острова обладает своей (индивидуальной) функцией спроса, на основе которой принимает потребительские решения по закупке товаров у чужестранцев: Фермер ≤ft(Q{d Φ}=10 / P\right), Рыбак ≤ft(Q{dP}=6 / P\right) и Моряк ≤ft(Q_dM=4 / P\right) . Q - количество сладостей, представленное в килограммах.

Прознали как-то раз маркетологи и сбытовики крупной корпорации «СладоМИР», производящей вкусные сладости под брендом «Радости», про этот остров и решили стратегию продвижения своих вкусностей и здесь реализовать! Как принято в серьезном бизнесе, стали они исследования рынка проводить, да разные хитрые функции вычислять и к своему уравнению предложения товаров примерять: Q_s=19+P !

Задание:
1. Необходимо рассчитать коммерческую программу поставок продукции корпорации «СладоМИР» на чудо остров «Смысляндия», включающую в себя равновесный рыночный объем продаж и равновесную рыночную цену. При этом цена на сладости может быть выражена только в натуральных числах (Ютилях)!
2. Необходимо рассчитать коммерческую программу поставок продукции корпорации «СладоМИР» на чудо остров «Смысляндия», включающую в себя равновесный рыночный объем продаж и равновесную рыночную цену, но при условии, что Моряк покинет остров, уйдя в дальнее плавание, и не будет участвовать в покупках сладостей. При этом цена на сладости может быть выражена только в натуральных числах (Ютилях)!
3. Необходимо рассчитать коммерческую программу поставок продукции корпорации «СладоМИР» на чудо остров «Смысляндия», включающую в себя равновесный рыночный объем продаж и равновесную рыночную цену, но при условии, что Моряк покинет остров, уйдя в дальнее плавание, и не будет участвовать в покупках сладостей. При этом цена на сладости может быть выражена в любых положительных числах!

Решение:

Для решения задачи, давайте поэтапно разберем каждый пункт.

Шаг 1: Определение рыночного спроса

Сначала найдем общий спрос на сладости от всех трех жителей острова.

1. Фермер: \( Q_d^\Phi = \frac{10}{P} \)
2. Рыбак: \( Q_d^P = \frac{6}{P} \)
3. Моряк: \( Q_d^M = \frac{4}{P} \)

Общий спрос \( Q_d \) будет равен сумме индивидуальных спросов:
\[
Qd = Qd^\Phi + Qd^P +...d^M = \frac{10}{P} + \frac{6}{P} + \frac{4}{P} = \frac{20}{P} \] Предложение от корпорации «СладоМИР» задано как: \[ Q_s = 19 + P \] Для нахождения равновесной цены и объема продаж при равновесии необходимо приравнять спрос и предложение: \[ \frac{20}{P} = 19 + P \] Умножим обе стороны на \( P \): \[ 20 = (19 + P)P \] \[ 20 = 19P + P^2 \] \[ P^2 + 19P - 20 = 0 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения: \[ P = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = 19, c = -20 \): \[ P = \frac{-19 \pm \sqrt{19^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1} \] \[ P = \frac{-19 \pm \sqrt{361 + 80}}{2} \] \[ P = \frac{-19 \pm \sqrt{441}}{2} \] \[ P = \frac{-19 \pm 21}{2} \] Решения: 1. \( P = \frac{2}{2} = 1 \) 2. \( P = \frac{-40}{2} = -20 \) (отрицательная цена не имеет смысла) Таким образом, равновесная цена \( P = 1 \). Теперь подставим \( P = 1 \) в уравнение спроса: \[ Q_d = \frac{20}{1} = 20 \] Равновесный объем продаж: 20 кг, равновесная цена: 1 утиль. --- Теперь найдем общий спрос без Моряка: \[ Qd^\Phi + Q_d^P = \frac{10}{P} + \frac{6}{P} = \frac{16}{P} \] Приравниваем спрос и предложение: \[ \frac{16}{P} = 19 + P \] Умножаем на \( P \): \[ 16 = (19 + P)P \] \[ 16 = 19P + P^2 \] \[ P^2 + 19P - 16 = 0 \] Решаем квадратное уравнение: \[ P = \frac{-19 \pm \sqrt{19^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} \] \[ P = \frac{-19 \pm \sqrt{361 + 64}}{2} \] \[ P = \frac{-19 \pm \sqrt{425}}{2} \] Приблизительно: \[ \sqrt{425} \approx 20.615 \] \[ P \approx \frac{-19 + 20.615}{2} \approx 0.8075 \] Так как цена должна быть натуральным числом, округляем до 1. Теперь подставим \( P = 1 \) в уравнение спроса: \[ Q_d = \frac{16}{1} = 16 \] Равновесный объем продаж: 16 кг, равновесная цена: 1 утиль. --- Используем то же уравнение: \[ P^2 + 19P - 16 = 0 \] Решаем: \[ P = \frac{-19 \pm \sqrt{425}}{2} \] Приблизительно: \[ P \approx 0.8075 \text{ или } -19.8075 \] Мы берем положительное значение: \[ P \approx 0.8075 \] Теперь подставим это значение в уравнение спроса: \[ Q_d = \frac{16}{0.8075} \approx 19.8 \] Равновесный объем продаж: примерно 19.8 кг, равновесная цена: примерно 0.8075 утилей.