Задача №1. Зависимость вектора напряжённости электростатического поля, созданного объёмным электрическим зарядом, выражается уравнением: ⃗ = ax -2 + by-2 + cz -2 ⃗ , где , , ⃗ – единичные орты осей X, Y, Z; a, b, c – постоянные. Определить: 1).объёмную

Для решения данной задачи, давайте последовательно разберем каждый пункт.

1. Объёмная плотность электрического заряда в точке ...

Вектор напряжённости электростатического поля задан уравнением: \[ \vec{E} = a \hat{i} x^{-2} + b \hat{j} y^{-2} + c \hat{k} z^{-2} \] где \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( c = 3 \). Объёмная плотность электрического заряда \( \rho \) связана с вектором напряжённости через уравнение: \[ \rho = \epsilon_0 \nabla \cdot \vec{E} \] где \( \epsilon_0 \) — электрическая постоянная, \( \nabla \cdot \vec{E} \) — дивергенция вектора напряжённости. Вычислим дивергенцию: \[ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\partial}{\partial x}(a x^{-2}) + \frac{\partial}{\partial y}(b y^{-2}) + \frac{\partial}{\partial z}(c z^{-2}) \] Вычисляем каждую производную: \[ \frac{\partial}{\partial x}(2 x^{-2}) = -4 x^{-3} \] \[ \frac{\partial}{\partial y}(1 y^{-2}) = -2 y^{-3} \] \[ \frac{\partial}{\partial z}(3 z^{-2}) = -6 z^{-3} \] Теперь подставим в дивергенцию: \[ \nabla \cdot \vec{E} = -4 x^{-3} - 2 y^{-3} - 6 z^{-3} \] Теперь подставим координаты точки A \( (x1, z_1) = (0.2, 0.3, 0.2) \): \[ \nabla \cdot \vec{E} = -4 (0.2)^{-3} - 2 (0.3)^{-3} - 6 (0.2)^{-3} \] \[ = -4 \cdot 125 - 2 \cdot \frac{1}{0.027} - 6 \cdot 125 \] \[ = -500 - 74.07 - 750 = -1324.07 \] Теперь подставим в формулу для объёмной плотности: \[ \rho = \epsilon_0 (-1324.07) \] Принимая \( \epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \): \[ \rho \approx 8.85 \times 10^{-12} \cdot (-1324.07) \approx -1.173 \times 10^{-8} \text{ Кл/м}^3 \] Теперь подставим координаты в вектор напряжённости: \[ \vec{E} = 2 (0.2)^{-2} \hat{i} + 1 (0.3)^{-2} \hat{j} + 3 (0.2)^{-2} \hat{k} \] \[ = 2 \cdot 25 \hat{i} + 1 \cdot \frac{1}{0.09} \hat{j} + 3 \cdot 25 \hat{k} \] \[ = 50 \hat{i} + 11.11 \hat{j} + 75 \hat{k} \] Теперь найдем модуль вектора: \[ |\vec{E}| = \sqrt{50^2 + 11.11^2 + 75^2} \approx \sqrt{2500 + 123.45 + 5625} \approx \sqrt{8250.45} \approx 90.8 \text{ Н/Кл} \] Сила \( F \) определяется как: \[ \vec{F} = q_0 \vec{E} \] где \( q_0 = 4 \times 10^{-6} \) Кл. Подставим: \[ \vec{F} = 4 \times 10^{-6} (50 \hat{i} + 11.11 \hat{j} + 75 \hat{k}) \approx (2 \times 10^{-4} \hat{i} + 4.44 \times 10^{-5} \hat{j} + 3 \times 10^{-4} \hat{k}) \text{ Н} \] Потенциал \( V \) связан с вектором напряжённости: \[ V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{r} \] Для точек B, C, D: - В точке B \( (x_1, 0, 0) \): \[ V{0}^{0.2} 50 \, dx = -50 \cdot 0.2 = -10 \text{ В} \] - В точке C \( (0, y_1, 0) \): \[ V{0}^{0.3} 11.11 \, dy = -11.11 \cdot 0.3 \approx -3.33 \text{ В} \] - В точке D \( (0, 0, z_1) \): \[ V{0}^{0.2} 75 \, dz = -75 \cdot 0.2 = -15 \text{ В} \] Потенциальная энергия \( U \) определяется как: \[ U = q_0 V \] Для точек: - В точке B: \[ U_B = 4 \times 10^{-6} \cdot (-10) = -4 \times 10^{-5} \text{ Дж} \] - В точке C: \[ U_C = 4 \times 10^{-6} \cdot (-3.33) \approx -1.33 \times 10^{-5} \text{ Дж} \] - В точке D: \[ U_D = 4 \times 10^{-6} \cdot (-15) = -6 \times 10^{-5} \text{ Дж} \] Работа \( A \) при перемещении заряда: \[ AC - U_B \approx -1.33 \times 10^{-5} + 4 \times 10^{-5} = 2.67 \times 10^{-5} \text{ Дж} \] \[ AD - U_B \approx -6 \times 10^{-5} + 4 \times 10^{-5} = -2 \times 10^{-5} \text{ Дж} \] \[ AD - U_C \approx -6 \times 10^{-5} + 1.33 \times 10^{-5} = -4.67 \times 10^{-5} \text{ Дж} \] Таким образом, мы нашли все необходимые значения для данной задачи.