Задача №1. Зависимость вектора напряжённости электростатического поля, созданного объёмным электрическим зарядом, выражается уравнением: ⃗ = ax -2 + by-2 + cz -2 ⃗ , где , , ⃗ – единичные орты осей X, Y, Z; a, b, c – постоянные. Определить: 1).объёмную

Для решения данной задачи, давайте последовательно разберем каждый пункт.

1. Объёмная плотность электрического заряда в точке ...

Вектор напряжённости электростатического поля задан уравнением:

$$\vec{E} = a \hat{i} x^{-2} + b \hat{j} y^{-2} + c \hat{k} z^{-2}$$

где $a = 2$, $b = 1$, $c = 3$.

Объёмная плотность электрического заряда $\rho$ связана с вектором напряжённости через уравнение:

$$\rho = \epsilon_0 \nabla \cdot \vec{E}$$

где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная, $\nabla \cdot \vec{E}$ — дивергенция вектора напряжённости.

Вычислим дивергенцию:

$$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\partial}{\partial x}(a x^{-2}) + \frac{\partial}{\partial y}(b y^{-2}) + \frac{\partial}{\partial z}(c z^{-2})$$

Вычисляем каждую производную:

$$\frac{\partial}{\partial x}(2 x^{-2}) = -4 x^{-3}$$

$$\frac{\partial}{\partial y}(1 y^{-2}) = -2 y^{-3}$$

$$\frac{\partial}{\partial z}(3 z^{-2}) = -6 z^{-3}$$

Теперь подставим в дивергенцию:

$$\nabla \cdot \vec{E} = -4 x^{-3} - 2 y^{-3} - 6 z^{-3}$$

Теперь подставим координаты точки A $(x1, z_1) = (0.2, 0.3, 0.2)$:

$$\nabla \cdot \vec{E} = -4 (0.2)^{-3} - 2 (0.3)^{-3} - 6 (0.2)^{-3}$$

$$= -4 \cdot 125 - 2 \cdot \frac{1}{0.027} - 6 \cdot 125$$

$$= -500 - 74.07 - 750 = -1324.07$$

Теперь подставим в формулу для объёмной плотности:

$$\rho = \epsilon_0 (-1324.07)$$

Принимая $\epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12}$:

$$\rho \approx 8.85 \times 10^{-12} \cdot (-1324.07) \approx -1.173 \times 10^{-8} \text{ Кл/м}^3$$

Теперь подставим координаты в вектор напряжённости:

$$\vec{E} = 2 (0.2)^{-2} \hat{i} + 1 (0.3)^{-2} \hat{j} + 3 (0.2)^{-2} \hat{k}$$

$$= 2 \cdot 25 \hat{i} + 1 \cdot \frac{1}{0.09} \hat{j} + 3 \cdot 25 \hat{k}$$

$$= 50 \hat{i} + 11.11 \hat{j} + 75 \hat{k}$$

Теперь найдем модуль вектора:

$$|\vec{E}| = \sqrt{50^2 + 11.11^2 + 75^2} \approx \sqrt{2500 + 123.45 + 5625} \approx \sqrt{8250.45} \approx 90.8 \text{ Н/Кл}$$

Сила $F$ определяется как:

$$\vec{F} = q_0 \vec{E}$$

где $q_0 = 4 \times 10^{-6}$ Кл.

Подставим:

$$\vec{F} = 4 \times 10^{-6} (50 \hat{i} + 11.11 \hat{j} + 75 \hat{k}) \approx (2 \times 10^{-4} \hat{i} + 4.44 \times 10^{-5} \hat{j} + 3 \times 10^{-4} \hat{k}) \text{ Н}$$

Потенциал $V$ связан с вектором напряжённости:

$$V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{r}$$

Для точек B, C, D:

• В точке B $(x_1, 0, 0)$:

  $$V{0}^{0.2} 50 \, dx = -50 \cdot 0.2 = -10 \text{ В}$$

• В точке C $(0, y_1, 0)$:

  $$V{0}^{0.3} 11.11 \, dy = -11.11 \cdot 0.3 \approx -3.33 \text{ В}$$

• В точке D $(0, 0, z_1)$:

  $$V{0}^{0.2} 75 \, dz = -75 \cdot 0.2 = -15 \text{ В}$$

Потенциальная энергия $U$ определяется как:

$$U = q_0 V$$

Для точек:

• В точке B:

  $$U_B = 4 \times 10^{-6} \cdot (-10) = -4 \times 10^{-5} \text{ Дж}$$

• В точке C:

  $$U_C = 4 \times 10^{-6} \cdot (-3.33) \approx -1.33 \times 10^{-5} \text{ Дж}$$

• В точке D:

  $$U_D = 4 \times 10^{-6} \cdot (-15) = -6 \times 10^{-5} \text{ Дж}$$

Работа $A$ при перемещении заряда:

$$AC - U_B \approx -1.33 \times 10^{-5} + 4 \times 10^{-5} = 2.67 \times 10^{-5} \text{ Дж}$$

$$AD - U_B \approx -6 \times 10^{-5} + 4 \times 10^{-5} = -2 \times 10^{-5} \text{ Дж}$$

$$AD - U_C \approx -6 \times 10^{-5} + 1.33 \times 10^{-5} = -4.67 \times 10^{-5} \text{ Дж}$$

Таким образом, мы нашли все необходимые значения для данной задачи.