Определить, как изменится цена купонной облигации, до погашения которой осталось 5 лет, с номиналом 1200 рублей, ежегодными купонными выплатами 50 рублей и доходностью к погашению 8%, если: а) доходность к погашению увеличиться на 2 %, купонная доходность

Для решения задачи о том, как изменится цена купонной облигации, нам нужно рассмотреть несколько шагов.

Шаг 1:...

Цена купонной облигации рассчитывается по формуле: \[ P = \sum_{t=1}^{n} \frac{C}{(1 + r)^t} + \frac{F}{(1 + r)^n} \] где: - \( P \) — цена облигации, - \( C \) — купонные выплаты (50 рублей), - \( r \) — доходность к погашению (0.08), - \( n \) — количество лет до погашения (5 лет), - \( F \) — номинал облигации (1200 рублей). Подставим известные значения: \[ P = \sum_{t=1}^{5} \frac{50}{(1 + 0.08)^t} + \frac{1200}{(1 + 0.08)^5} \] Теперь рассчитаем каждую из купонных выплат: 1. Для \( t = 1 \): \[ \frac{50}{(1 + 0.08)^1} = \frac{50}{1.08} \approx 46.30 \] 2. Для \( t = 2 \): \[ \frac{50}{(1 + 0.08)^2} = \frac{50}{1.1664} \approx 42.92 \] 3. Для \( t = 3 \): \[ \frac{50}{(1 + 0.08)^3} = \frac{50}{1.259712} \approx 39.70 \] 4. Для \( t = 4 \): \[ \frac{50}{(1 + 0.08)^4} = \frac{50}{1.36049} \approx 36.81 \] 5. Для \( t = 5 \): \[ \frac{50}{(1 + 0.08)^5} = \frac{50}{1.469328} \approx 34.05 \] Теперь сложим все купонные выплаты: \[ 46.30 + 42.92 + 39.70 + 36.81 + 34.05 \approx 199.78 \] Теперь рассчитаем приведенную стоимость номинала: \[ \frac{1200}{(1 + 0.08)^5} = \frac{1200}{1.469328} \approx 817.29 \] Теперь сложим приведенные стоимости купонных выплат и номинала: \[ P \approx 199.78 + 817.29 \approx 1017.07 \] Теперь рассмотрим изменения: - Доходность к погашению увеличивается на 2% (до 10% или 0.10). - Купонная доходность увеличивается на 1.5% (до 9.5% или 0.095). Теперь пересчитаем цену облигации с новой доходностью к погашению: \[ P = \sum_{t=1}^{5} \frac{50}{(1 + 0.10)^t} + \frac{1200}{(1 + 0.10)^5} \] 1. Для \( t = 1 \): \[ \frac{50}{(1 + 0.10)^1} = \frac{50}{1.10} \approx 45.45 \] 2. Для \( t = 2 \): \[ \frac{50}{(1 + 0.10)^2} = \frac{50}{1.21} \approx 41.32 \] 3. Для \( t = 3 \): \[ \frac{50}{(1 + 0.10)^3} = \frac{50}{1.331} \approx 37.57 \] 4. Для \( t = 4 \): \[ \frac{50}{(1 + 0.10)^4} = \frac{50}{1.4641} \approx 34.17 \] 5. Для \( t = 5 \): \[ \frac{50}{(1 + 0.10)^5} = \frac{50}{1.61051} \approx 31.06 \] Сложим все купонные выплаты: \[ 45.45 + 41.32 + 37.57 + 34.17 + 31.06 \approx 189.57 \] Теперь рассчитаем приведенную стоимость номинала: \[ \frac{1200}{(1 + 0.10)^5} = \frac{1200}{1.61051} \approx 744.09 \] Теперь сложим: \[ P \approx 189.57 + 744.09 \approx 933.66 \] Теперь найдем изменение цены облигации: \[ \Delta P = P - P \approx 933.66 - 1017.07 \approx -83.41 \] Цена купонной облигации уменьшится на примерно 83.41 рубля.