Для трёхмерного тела, изображенного на рисунке, заданы три компоненты вектора перемещения u, v, w как функции декартовых координат x, y, z.

Для трёхмерного тела, изображенного на рисунке, заданы три компоненты вектора перемещения u, v, w как функции декартовых координат x, y, z.

Требуется:

1. Определить компоненты тензора деформаций и тензора напряжений в произвольной точке тела.

2. Определить компоненты объёмной нагрузки X, Y, Z и поверхностной нагрузки Xν, Yν, Zν на наклонной грани тела.

3. Найти величину относительной объёмной деформации θ₀ и среднего нормального напряжения σ₀ в точке A с заданными координатами x_A, y_A, z_A . Записать тензор напряжений T_н, шаровой тензор Т_ш и девиатор напряжений D_н в этой точке.

4. Определить инварианты тензора напряжений I₁, I₂ , I₃ в точке A, а также величины главных напряжений σ₁, σ₂ , σ₃ и наибольшего касательного напряжения τ_max в этой точке.

5. Определить погрешность вычисления инвариантов тензора напряжений в точке A.

Данные для решения задачи приведены в таблицах 1 и 2.

Таблица 1.

Числовые данные

Таблица 2.

Функции перемещений