Исследовать плоское напряженное состояние (рис.11). Данные к задаче приведены в таблице 1. План решения задачи: 1) найти главные напряжения и направления главных площадок; 2) вычислить максимальные касательные напряжения; 3) определить относительные

Для решения задачи о плоском напряженном состоянии, следуем вашему плану. Давайте поэтапно выполним все необходимые расчеты.

Шаг 1: Найти главные напряжения и направления главных площадок

Главные напряжения можно найти с помощью уравнения:

\[
\sigma1, \sigma2 = \frac{\sigmax + \sigmay}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigmax - \sigmay}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}
\]

Подставим данные:

- \(\sigma_x = 80 \, \text{МПа}\)
- \(\sigma_y = 80 \, \text{МПа}\)
- \(\tau_{xy} = 70 \, \text{МПа}\)

Сначала найдем среднее значение:

\[
\frac{\sigmax + \sigmay}{2} = \frac{80 + 80}{2} = 80 \, \text{МПа}
\]

Теперь вычислим разность:

\[
\frac{\sigmax - \sigmay}{2} = \frac{80 - 80}{2} = 0
\]

Теперь подставим в формулу для главных напряжений:

\[
\sigma1, \si...2 = 80 \pm \sqrt{0^2 + 70^2} = 80 \pm 70 \] Таким образом, получаем: \[ \sigma2 = 10 \, \text{МПа} \] Теперь найдем направления главных площадок. Угол θ (угол поворота) можно найти по формуле: \[ \tan(2\theta) = \frac{2\taux - \sigma_y} \] Подставим значения: \[ \tan(2\theta) = \frac{2 \cdot 70}{80 - 80} \quad \text{(разделение на ноль, значит, угол 45°)} \] Таким образом, угол θ = 45°. Максимальные касательные напряжения можно найти по формуле: \[ \tau1 - \sigma_2}{2} \] Подставим значения: \[ \tau_{\text{max}} = \frac{150 - 10}{2} = \frac{140}{2} = 70 \, \text{МПа} \] Относительные деформации можно найти по закону Гука: \[ \epsilonx - \nu \sigma_y) \] \[ \epsilony - \nu \sigma_x) \] \[ \epsilon{xy}}{G} \] Для этого нам нужны значения модуля Юнга \(E\) и коэффициента Пуассона \(\nu\). Предположим, что \(E = 210 \, \text{ГПа}\) и \(\nu = 0.3\) (для стали). Подставим значения: \[ \epsilon_x = \frac{1}{210 \times 10^3} (80 - 0.3 \cdot 80) = \frac{1}{210 \times 10^3} (80 - 24) = \frac{56}{210 \times 10^3} \] \[ \epsilon_x \approx 0.0002667 \] Аналогично для \(\epsilon_y\): \[ \epsilonx \approx 0.0002667 \] Для касательной деформации: \[ \epsilon_{xy} = \frac{70 \times 10^6}{G} \] Где \(G = \frac{E}{2(1+\nu)} = \frac{210 \times 10^3}{2(1+0.3)} \approx 80.77 \, \text{ГПа}\). Подставляем: \[ \epsilon_{xy} = \frac{70 \times 10^6}{80.77 \times 10^9} \approx 0.000866 \] Относительное изменение объема можно найти по формуле: \[ \Delta V = \epsilony + \epsilon_z \] Принимаем, что \(\epsilonx + \epsilon_y)\): \[ \Delta V = \epsilony - \nu(\epsilony) = (1 - \nu)(\epsilony) \] Подставляем: \[ \Delta V = (1 - 0.3)(0.0002667 + 0.0002667) = 0.7 \cdot 0.0005334 \approx 0.00037338 \] Удельная потенциальная энергия деформаций: \[ U = \frac{1}{2} \cdot \epsilonx + \frac{1}{2} \cdot \epsilony + \tau{xy} \] Подставляем значения: \[ U = \frac{1}{2} \cdot 0.0002667 \cdot 80 + \frac{1}{2} \cdot 0.0002667 \cdot 80 + 70 \cdot 0.000866 \] Вычисляем: \[ U \approx \frac{1}{2} \cdot 0.021336 + \frac{1}{2} \cdot 0.021336 + 0.06062 \approx 0.021336 + 0.06062 \approx 0.081956 \, \text{МДж/м}^3 \] 1. Главные напряжения: \(\sigma2 = 10 \, \text{МПа}\) 2. Максимальные касательные напряжения: \(\tau_{\text{max}} = 70 \, \text{МПа}\) 3. Относительные деформации: \(\epsilony \approx 0.0002667, \epsilon_{xy} \approx 0.000866\) 4. Относительное изменение объема: \(\Delta V \approx 0.00037338\) 5. Удельная потенциальная энергия деформаций: \(U \approx 0.081956 \, \text{МДж/м}^3\)