Условие:
Какую форму r(z) должна иметь колонна, имеющая круглое поперечное
сечение, чтобы в каждом ее горизонтальном сечении действовало одно
и тоже давление (напряжение). Во внимание необходимо принять, что
давление создается как весом самой колонны, так и некоторой
постоянной нагрузкой F приложенной сверху колонны. Радиус
колонны на ее верху равен r0. Плотность материала колонны
.
Построить график r(z) при разной приложенной нагрузке F.
Пояснение
В любом сечении колонны должно быть одинаковое давление
/( )
2
0 P F r
, т.е. должно выполняться
( ) ( )
2 Pr z F Q z
, где Q - вес
колонны. Точное решение имеет вид
P
zg
r z r
2
( ) 0
exp
.
Решение:
Найдем функцию r(z), описывающую форму колонны, если требуется, чтобы в каждом горизонтальном сечении действовало одинаковое давление. 1. Пусть в сечении на высоте z (отсчитывая z от верха, где z = 0) радиус колонны равен r(z). На верхнем сечении, где z = 0, радиус равен r0. 2. Согласно условию равновесия в любом сечении суммарная нагрузка – постоянная нагрузка F, приложенная сверху, плюс вес колонны Q(z), расположенной выше сечения – должна создавать давление P, равное P = (F + Q(z))/(π[r(z)]²). 3. При этом требование постоянства давления означает, что P не зависит от z. На верхнем сеч...
