На основе исходных данных требуется: изобразить элемент объема, указав на нем истинные направления напряжений; определить аналитически и графически главные напряжения и проверить правильность их определения.

24 января 2025
Сопротивление материалов

Условие:

Внутри тела, находящегося под действием внешних нагрузок, выделен бесконечно малый элемент объема в форме параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям. На гранях параллелепипеда действуют известные напряжения σ_α, σ_β , τ_α , τ_β (Рисунок 1). На рисунке 1 показаны положительные направления напряжений.

Рисунок 1

Требуется:

1. Изобразить элемент объема, указав на нем истинные направления напряжений и учитывая, что τ_β=-τ_α;

2. Определить аналитически и графически (с помощью круга Мора) главные напряжения σ₁, σ₂, σ₃, и проверить правильность их определения, а также определить наибольшее касательное напряжение;

3. Определить аналитически и графически направление главных площадок, и показать на рисунке положение элемента, ограниченного главными площадками, относительно координатных осей и направления главных напряжений;

4. Определить величины главных деформаций, относительное изменение объема тела, удельную потенциальную энергию в окрестности данной точки тела;

5. Проверить прочность в точке тела по I, II, III и IV теориям прочности.

Решение:

Дано:

=-90 МПа, =-60 МПа, =50 МПа, E=92 ГПа, =0,33, [] =80 МПа.

1. Изображение элемента объема с указанием на нем истинных направлений напряжений. На основании закона парности касательных напряжений определим касательное напряжение :

= - =-50 МПа

В соответствии с правилами знаков, изобразим элемент объема с указанием на нем истинных направлений напряжений (Рисунок 2).