10 Определить размеры прямоугольного с отношением h / b=2 сечения балки, изогнутой в двух плоскостях. [σ]=140 M Па

Для решения задачи о определении размеров прямоугольного сечения балки, изогнутой в двух плоскостях, с заданным от...

Обозначим: - \( h \) — высота сечения балки, - \( b \) — ширина сечения балки, - \( \sigma \) — допустимое напряжение, равное \( 140 \, \text{МПа} = 140 \times 10^6 \, \text{Па} \). Согласно условию, у нас есть отношение высоты к ширине: \[ \frac{h}{b} = 2 \implies h = 2b \] Для прямоугольного сечения момент инерции \( I \) относительно нейтральной оси можно выразить как: \[ I = \frac{b h^3}{12} \] Подставим \( h = 2b \): \[ I = \frac{b (2b)^3}{12} = \frac{b \cdot 8b^3}{12} = \frac{8b^4}{12} = \frac{2b^4}{3} \] Максимальное изгибающее напряжение в сечении балки можно выразить через изгибающий момент \( M \): \[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \] где \( c \) — расстояние от нейтральной оси до края сечения, равное \( \frac{h}{2} = b \). Подставим известные значения: \[ \sigma = \frac{M \cdot b}{I} \] Подставим \( I \): \[ \sigma = \frac{M \cdot b}{\frac{2b^4}{3}} = \frac{3M}{2b^3} \] Теперь подставим значение допустимого напряжения \( \sigma = 140 \times 10^6 \, \text{Па} \): \[ 140 \times 10^6 = \frac{3M}{2b^3} \] Отсюда выразим \( b^3 \): \[ b^3 = \frac{3M}{2 \cdot 140 \times 10^6} \] Теперь, чтобы найти конкретные размеры, нам нужно знать значение изгибающего момента \( M \). Если оно не задано, мы не можем продолжить расчет. Предположим, что \( M \) задано, например, \( M = 1000 \, \text{Нм} \) (это пример, вы можете подставить свое значение). Подставим \( M = 1000 \): \[ b^3 = \frac{3 \cdot 1000}{2 \cdot 140 \times 10^6} = \frac{3000}{280 \times 10^6} = \frac{3}{280 \times 10^3} \approx 1.0714 \times 10^{-5} \] Теперь найдем \( b \): \[ b \approx (1.0714 \times 10^{-5})^{1/3} \approx 0.022 \, \text{м} \approx 22 \, \text{мм} \] Теперь найдем \( h \): \[ h = 2b \approx 2 \cdot 0.022 \approx 0.044 \, \text{м} \approx 44 \, \text{мм} \] Таким образом, размеры прямоугольного сечения балки составляют: - Ширина \( b \approx 22 \, \text{мм} \) - Высота \( h \approx 44 \, \text{мм} \) Если у вас есть конкретное значение изгибающего момента \( M \), подставьте его в формулы для получения точных размеров.