Проверить устойчи- вость стальной стойки прямо- угольного поперечного сече- ния 20х40 мм, если F = 30 кН, [n,] = 3.

Для проверки устойчивости стальной стойки прямоугольного поперечного сечения необходимо выполнить неско...

Дано: - Размеры сечения: \( b = 20 \, \text{мм} \), \( h = 40 \, \text{мм} \) - Нагрузка: \( F = 30 \, \text{кН} = 30000 \, \text{Н} \) - Модуль упругости: \( E = 210 \, \text{ГПа} = 210 \times 10^9 \, \text{Па} \) (для стали) Момент инерции \( I \) для прямоугольного сечения можно вычислить по формуле: \[ I = \frac{b \cdot h^3}{12} \] Подставим значения: \[ I = \frac{20 \, \text{мм} \cdot (40 \, \text{мм})^3}{12} = \frac{20 \cdot 64000}{12} = \frac{1280000}{12} = 106666.67 \, \text{мм}^4 \] Критическая нагрузка для колонны с учетом её длины и условий закрепления определяется по формуле Эйлера: \[ P{эфф})^2} \] Где \( L_{эфф} \) - эффективная длина колонны. Для стальной стойки с простым закреплением (например, на концах) эффективная длина равна длине стойки. Предположим, что длина стойки \( L = 3 \, \text{м} = 3000 \, \text{мм} \). Теперь подставим значения в формулу: \[ P_{крит} = \frac{\pi^2 \cdot 210 \times 10^9 \cdot 106666.67 \times 10^{-12}}{(3000)^2} \] Сначала вычислим числитель: \[ \pi^2 \approx 9.87 \] \[ P_{крит} = \frac{9.87 \cdot 210 \times 10^9 \cdot 106666.67 \times 10^{-12}}{9000000} \] \[ P_{крит} \approx \frac{9.87 \cdot 210 \cdot 106666.67}{9000} \approx \frac{9.87 \cdot 22400000}{9000} \approx 2460000 \, \text{Н} \approx 2460 \, \text{кН} \] Теперь сравним критическую нагрузку с действующей: \[ P_{крит} \approx 2460 \, \text{кН} \quad \text{и} \quad F = 30 \, \text{кН} \] Поскольку критическая нагрузка (2460 кН) значительно больше действующей нагрузки (30 кН), стойка устойчива. Таким образом, стойка сечением 20х40 мм при нагрузке 30 кН устойчива.