Даны независимые выборки X: 24, 19, 19, 21, 20; Y: 24, 14, 34, 26, 27, 19. В предположении о нормальном распределении Х и у проверить по t- критерию Стьюдента гипотезу о равенстве математических ожиданий на уровне α = 0,05.

Для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий двух независимых выборок X и Y с использованием t-критерия Стьюдента, следуем следующим шаг...

- Нулевая гипотеза \( HX = \mu_Y \) (математические ожидания равны) - Альтернативная гипотеза \( HX \neq \mu_Y \) (математические ожидания не равны) Для выборки X: - \( X = [24, 19, 19, 21, 20] \) - Выборочное среднее \( \bar{X} \): \[ \bar{X} = \frac{24 + 19 + 19 + 21 + 20}{5} = \frac{103}{5} = 20.6 \] - Выборочное стандартное отклонение \( S_X \): \[ Si - \bar{X})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{(24-20.6)^2 + (19-20.6)^2 + (19-20.6)^2 + (21-20.6)^2 + (20-20.6)^2}{5-1}} \] \[ = \sqrt{\frac{(3.4)^2 + (-1.6)^2 + (-1.6)^2 + (0.4)^2 + (-0.6)^2}{4}} = \sqrt{\frac{11.56 + 2.56 + 2.56 + 0.16 + 0.36}{4}} = \sqrt{\frac{17.2}{4}} = \sqrt{4.3} \approx 2.07 \] Для выборки Y: - \( Y = [24, 14, 34, 26, 27, 19] \) - Выборочное среднее \( \bar{Y} \): \[ \bar{Y} = \frac{24 + 14 + 34 + 26 + 27 + 19}{6} = \frac{144}{6} = 24 \] - Выборочное стандартное отклонение \( S_Y \): \[ Si - \bar{Y})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{(24-24)^2 + (14-24)^2 + (34-24)^2 + (26-24)^2 + (27-24)^2 + (19-24)^2}{6-1}} \] \[ = \sqrt{\frac{0 + (-10)^2 + (10)^2 + (2)^2 + (3)^2 + (-5)^2}{5}} = \sqrt{\frac{0 + 100 + 100 + 4 + 9 + 25}{5}} = \sqrt{\frac{238}{5}} = \sqrt{47.6} \approx 6.9 \] Формула для t-статистики: \[ t = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{\frac{SX} + \frac{SY}}} \] где \( nY = 6 \). Подставляем значения: \[ t = \frac{20.6 - 24}{\sqrt{\frac{(2.07)^2}{5} + \frac{(6.9)^2}{6}}} \] \[ = \frac{-3.4}{\sqrt{\frac{4.2889}{5} + \frac{47.61}{6}}} = \frac{-3.4}{\sqrt{0.8578 + 7.935}} = \frac{-3.4}{\sqrt{8.7928}} \approx \frac{-3.4}{2.97} \approx -1.14 \] Для уровня значимости \( \alpha = 0.05 \) и двухстороннего теста, находим критические значения t для \( nY - 2 = 5 + 6 - 2 = 9 \) степеней свободы. Согласно таблице критических значений t, для \( \alpha/2 = 0.025 \) и 9 степеней свободы, критическое значение \( t_{0.025, 9} \approx 2.262 \). Сравниваем вычисленное значение t с критическими значениями: - Если \( |t| t0 \). - Если \( |t| \leq t0 \). В нашем случае: \[ |-1.14| 2.262 \] Не отвергаем нулевую гипотезу \( H_0 \). Это означает, что на уровне значимости \( \alpha = 0.05 \) нет достаточных оснований для утверждения, что математические ожидания выборок X и Y различны.