Условие:
Для проверки эффективности новой методики обучения были выбраны два класса общеобразовательной школы: в первом классе численностью n1 = 32 чел., где применялась новая методика, средний выборочный балл по дисциплине составил 4,5, во втором классе численностью n2 = 28 чел. средний выборочный балл составил 4,2. Дисперсии знаний в группах равны соответственно σx2=0,1 и σy2=0,2.
На уровне значимости α=0,05 выяснить влияние новой методики обучения на средний балл по дисциплине.
Решение:
Для проверки влияния новой методики обучения на средний балл по дисциплине мы можем использовать t-тест для независимых выборок. Давайте пройдемся по ...
- : Средние баллы в двух классах равны, т.е. \( \mu2 \). - : Средние баллы в двух классах не равны, т.е. \( \mu2 \). Для независимых выборок t-статистика рассчитывается по формуле: \[ t = \frac{\bar{x}2}{\sqrt{\frac{\sigma1} + \frac{\sigma2}}} \] где: - \( \bar{x}_1 = 4.5 \) — средний балл первого класса, - \( \bar{x}_2 = 4.2 \) — средний балл второго класса, - \( \sigma_x^2 = 0.1 \) — дисперсия первого класса, - \( \sigma_y^2 = 0.2 \) — дисперсия второго класса, - \( n_1 = 32 \) — размер выборки первого класса, - \( n_2 = 28 \) — размер выборки второго класса. Подставим известные значения в формулу: \[ t = \frac{4.5 - 4.2}{\sqrt{\frac{0.1}{32} + \frac{0.2}{28}}} \] Сначала вычислим знаменатель: \[ \frac{0.1}{32} = 0.003125 \] \[ \frac{0.2}{28} \approx 0.007142857 \] \[ \sqrt{0.003125 + 0.007142857} = \sqrt{0.010267857} \approx 0.10133 \] Теперь подставим это значение в формулу для t: \[ t = \frac{0.3}{0.10133} \approx 2.96 \] Степени свободы для t-теста для независимых выборок рассчитываются по формуле: \[ df = n2 - 2 = 32 + 28 - 2 = 58 \] На уровне значимости \( \alpha = 0.05 \) и с 58 степенями свободы, мы можем найти критическое значение t из таблицы t-распределения. Для двустороннего теста критическое значение t примерно равно ±2.001. Мы получили t-статистику \( t \approx 2.96 \), которая больше критического значения \( 2.001 \). Поскольку \( |t| t_{крит} \), мы отвергаем нулевую гипотезу \( H0 \). Это означает, что есть статистически значимое различие между средними баллами двух классов. Новая методика обучения оказала влияние на средний балл по дисциплине, так как мы отвергли нулевую гипотезу на уровне значимости \( \alpha = 0.05 \).