Для семейства распределений с плотностью построить оптимальную оценку для .

Добавлена: 27.04.2026
Обновлена: 27.04.2026
Предмет: Статистика
Автор: Кэмп

#Прикладная статистика в экономике
#Статистическое моделирование

Для семейства распределений с плотностью построить оптимальную оценку для .

Условие:

Для семейства распределений с плотностью $\frac{1}{\theta} e^{-x/\theta} I(x \ge 0)$ построить оптимальную оценку для $\theta^{1/2}$ .

Решение:

Шаг 1: Определение функции правдоподобия
Функция правдоподобия для независимых наблюдений X1, X2, ..., Xn из данного распределения будет выглядеть следующим образом:\nL(θ) = ∏(1/θ) * e^(-Xi/θ) для i от 1 до n
= (1/θ^n) * e^(-ΣXi/θ)

Шаг 2: Логарифм функции правдоподобия
Для удобства работы, возьмем логарифм функции правдоподобия:\nln L(θ) = -n ln(θ) - (ΣXi)/θ

...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство распределения с плотностью $ \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta} I(x \ge 0) $ позволяет использовать среднее арифметическое выборки для оценки параметра $ \theta $?

Это распределение является симметричным относительно $\theta$ .

Это распределение относится к экспоненциальному семейству, для которого выборочное среднее является достаточной статистикой.

Параметр $\theta$ является медианой распределения.