Для выявления уровня успеваемости студентов экономического факультета вуза было отобрано 5 групп. По результатам экзаменационной сессии были зафиксированы следующие показатели успеваемости по попавшим в выборку группам: Группа 1 2 3 4 5 Успеваемость, xi,

Добавлена: 21.06.2026
Обновлена: 21.06.2026
Предмет: Статистика
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика в экономике
#Прикладная статистика в экономике

Условие:

Для выявления уровня успеваемости студентов экономического факультета вуза было отобрано 5 групп. По результатам экзаменационной сессии были зафиксированы следующие показатели успеваемости по попавшим в выборку группам:
Группа 1 2 3 4 5
Успеваемость, xi, балл 3,6 3,8 4,1 4,2 4,3
На основе выборочных данных, предполагая, что успеваемость студентов подчиняется нормальному закону распределения, определить:
1) несмещённые точечные оценки: а) для генеральной средней успеваемости; б) для генеральной дисперсии; в) для генерального среднего квадратического отклонения;
2) с доверительной вероятностью 0,975 интервальную оценку для генеральной средней успеваемости при условии, что генеральная дисперсия составит 0,01;
3) доверительную вероятность, с которой можно гарантировать точность оценивания генеральной средней успеваемости не менее 0,04;
4) вероятность того, что средняя успеваемость студентов в генеральной совокупности окажется в интервале [3,85; 4,15].

Решение:

Для решения задачи проанализируем имеющиеся данные.

Дано:

Выборка объемом $n = 5$ . Значения успеваемости $x_i$ : $3,6; 3,8; 4,1; 4,2; 4,3$ . Доверительная вероятность $\gamma = 0,975$ . Генеральная дисперсия $\sigma^2 = 0,01$ (следовательно, $\sigma = 0,1$ ).

1) Несмещенные точечные оценки

а) Выборочная средняя $\bar{x}$ :

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{3,6 + 3,8 + 4,1 + 4,2 + 4,3}{5} = \frac{20}{5} = 4,0

б) Несмещенная выборочная дисперсия $s^2$ : Сначала найдем выборочную дисперсию $D_в = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \bar{x}^2$ : $\sum x_i^2 = 3,6^2 + 3,8^2 + 4,1^2 + 4,2^2 + 4,3^2 = 12,96 + 14,44 + 16,81 + 17,64 + 18,49 = 80,34$ . $D_в = \frac{80,34}{5} - 4,0^2 = 16,068 - 16 = 0,068$ ...