Задача 51. Имеются данные о среках функинонирования коммерческих банков на конец года: 1- 2 2-3 3-4 4-5 5 - 6 6 - 7 Срок функционирования, леч Удельный вес банков, % 16 20 28 18 10 4 Вычислить размах среднее линейное отклонение. дисперсию, среднее

Для решения задачи, давайте сначала структурируем данные, которые у нас есть:

Срок функционирования (лет) и удельный вес банков (%):

Срок функционирования (лет)	Удельный вес банков (%)
1	16
2	20
3	28
4	18
5	10
6	4

Шаг 1: Вычисление размаха

Размах (R) — это разница между максимальным и минимальным значениями.

- Минимальное значение: 1
- Максимальное значение: 6

Размах:
$ R = \text{максимум} - \text{минимум} = 6 - 1 = 5 $

Шаг 2: Вычисление среднего

Среднее (M) можно вычислить по формуле:
$ M = \frac{\sum (xi \cdot...i)}{N} $ где $xi$ — удельный вес (в долях), $N$ — сумма удельных весов.

Сначала найдем сумму удельных весов:

$$N = 16 + 20 + 28 + 18 + 10 + 4 = 96$$

Теперь вычислим среднее:

$$M = \frac{(1 \cdot 16) + (2 \cdot 20) + (3 \cdot 28) + (4 \cdot 18) + (5 \cdot 10) + (6 \cdot 4)}{96}$$

Вычислим числитель:

$$1 \cdot 16 = 16$$

$$2 \cdot 20 = 40$$

$$3 \cdot 28 = 84$$

$$4 \cdot 18 = 72$$

$$5 \cdot 10 = 50$$

$$6 \cdot 4 = 24$$

Суммируем:

$$16 + 40 + 84 + 72 + 50 + 24 = 286$$

Теперь подставим в формулу для среднего:

$$M = \frac{286}{96} \approx 2.9792$$

Линейное отклонение (D) — это среднее арифметическое отклонений от среднего:

$$D = \frac{\sum (pi - M|)}{N}$$

Вычислим отклонения:

• Для $x_1 = 1$: $|1 - 2.9792| \approx 1.9792$
• Для $x_2 = 2$: $|2 - 2.9792| \approx 0.9792$
• Для $x_3 = 3$: $|3 - 2.9792| \approx 0.0208$
• Для $x_4 = 4$: $|4 - 2.9792| \approx 1.0208$
• Для $x_5 = 5$: $|5 - 2.9792| \approx 2.0208$
• Для $x_6 = 6$: $|6 - 2.9792| \approx 3.0208$

Теперь вычислим линейное отклонение:

$$D = \frac{(16 \cdot 1.9792) + (20 \cdot 0.9792) + (28 \cdot 0.0208) + (18 \cdot 1.0208) + (10 \cdot 2.0208) + (4 \cdot 3.0208)}{96}$$

Вычислим числитель:

$$16 \cdot 1.9792 \approx 31.6272$$

$$20 \cdot 0.9792 \approx 19.584$$

$$28 \cdot 0.0208 \approx 0.5824$$

$$18 \cdot 1.0208 \approx 18.3744$$

$$10 \cdot 2.0208 \approx 20.208$$

$$4 \cdot 3.0208 \approx 12.0832$$

Суммируем:

$$31.6272 + 19.584 + 0.5824 + 18.3744 + 20.208 + 12.0832 \approx 102.4592$$

Теперь подставим в формулу для линейного отклонения:

$$D = \frac{102.4592}{96} \approx 1.067$$

Дисперсия (D) рассчитывается по формуле:

$$D = \frac{\sum (pi - M)^2)}{N}$$

Вычислим квадрат отклонений:

• Для $x_1 = 1$: $(1 - 2.9792)^2 \approx 3.916$
• Для $x_2 = 2$: $(2 - 2.9792)^2 \approx 0.960$
• Для $x_3 = 3$: $(3 - 2.9792)^2 \approx 0.0004$
• Для $x_4 = 4$: $(4 - 2.9792)^2 \approx 1.041$
• Для $x_5 = 5$: $(5 - 2.9792)^2 \approx 4.080$
• Для $x_6 = 6$: $(6 - 2.9792)^2 \approx 9.120$

Теперь вычислим дисперсию:

$$D = \frac{(16 \cdot 3.916) + (20 \cdot 0.960) + (28 \cdot 0.0004) + (18 \cdot 1.041) + (10 \cdot 4.080) + (4 \cdot 9.120)}{96}$$

Вычислим числитель:

$$16 \cdot 3.916 \approx 62.656$$

$$20 \cdot 0.960 \approx 19.2$$

$$28 \cdot 0.0004 \approx 0.0112$$

$$18 \cdot 1.041 \approx 18.738$$

$$10 \cdot 4.080 \approx 40.8$$

$$4 \cdot 9.120 \approx 36.48$$

Суммируем:

$$62.656 + 19.2 + 0.0112 + 18.738 + 40.8 + 36.48 \approx 177.1852$$

Теперь подставим в формулу для дисперсии:

$$D = \frac{177.1852}{96} \approx 1.847$$

Среднее квадратическое отклонение (σ) — это корень из дисперсии:

$$\sigma = \sqrt{D} \approx \sqrt{1.847} \approx 1.36$$

Коэффициент вариации (CV) рассчитывается по формуле:

$$CV = \frac{\sigma}{M} \cdot 100\%$$

Подставим значения:

$$CV = \frac{1.36}{2.9792} \cdot 100\% \approx 45.7\%$$

• Размах: 5
• Среднее: 2.9792
• Линейное отклонение: 1.067
• Дисперсия: 1.847
• Среднее квадратическое отклонение: 1.36
• Коэффициент вариации: 45.7%

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!