Из 2000 выбранных изделий, выпускаемых первым предприятием, бракованными оказались 60, а из 1500 выбранных изделий, выпускаемых вторым предприятием, бракованными оказались 48. Можно ли на уровне значимости α = 0,03 утверждать, что вероятности выпуска

Для решения этой задачи мы будем использовать метод проверки гипотез. Мы хотим проверить, совпадают ли вероятности вы...

• Нулевая гипотеза (H0): Вероятности выпуска бракованных изделий на первом и втором предприятиях равны.
• Альтернативная гипотеза (H1): Вероятности выпуска бракованных изделий на первом и втором предприятиях не равны.

Уровень значимости α = 0,03.

Данные:

• Первое предприятие:

  • Общее количество изделий (n1) = 2000
  • Количество бракованных изделий (x1) = 60
  • Доля бракованных изделий (p1) = x1 / n1 = 60 / 2000 = 0,03

• Второе предприятие:

  • Общее количество изделий (n2) = 1500
  • Количество бракованных изделий (x2) = 48
  • Доля бракованных изделий (p2) = x2 / n2 = 48 / 1500 = 0,032

Мы будем использовать Z-тест для сравнения двух пропорций. Формула для Z-статистики:

$$Z = \frac{(p1 - p2)}{\sqrt{P(1-P) \left(\frac{1}{n1} + \frac{1}{n2}\right)}}$$

где P — объединенная пропорция:

$$P = \frac{x1 + x2}{n1 + n2} = \frac{60 + 48}{2000 + 1500} = \frac{108}{3500} \approx 0,030857$$

Теперь подставим значения в формулу для Z:

$$Z = \frac{(0,03 - 0,032)}{\sqrt{0,030857 \cdot (1 - 0,030857) \left(\frac{1}{2000} + \frac{1}{1500}\right)}}$$

Сначала вычислим P(1-P):

$$P(1-P) = 0,030857 \cdot (1 - 0,030857) \approx 0,030857 \cdot 0,969143 \approx 0,02993$$

Теперь вычислим (\frac{1}{n1} + \frac{1}{n2}):

$$\frac{1}{2000} + \frac{1}{1500} = 0,0005 + 0,0006667 \approx 0,0011667$$

Теперь подставим все в формулу для Z:

$$Z = \frac{-0,002}{\sqrt{0,02993 \cdot 0,0011667}} \approx \frac{-0,002}{\sqrt{0,0000349}} \approx \frac{-0,002}{0,00591} \approx -0,338$$

Для уровня значимости α = 0,03 и двустороннего теста, мы ищем критические значения Z. Для α = 0,03, критические значения находятся на уровне 1,5% с каждой стороны (0,015).

По таблице Z, критические значения примерно равны ±2,17.

Наше значение Z = -0,338. Это значение не попадает в критическую область (между -2,17 и 2,17).

Так как Z-статистика не попадает в критическую область, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу.

На уровне значимости α = 0,03 мы не можем утверждать, что вероятности выпуска бракованных изделий на первом и втором предприятиях совпадают.