Изучалась зависимость между двумя признаками X и Y (см. исходные данные в таблицах 1-20 в соответствии с вариантом, указанным преподавателем). Выполните анализ характера распределения значений данных признаков: 1. Вычислить числовые характеристики:

Для решения задачи, давайте последовательно выполним все пункты.

1. Вычисление числовых характеристик для признаков X и Y

Данные:
- Признак X: 27, 32, 34, 36, 38, 40, 44, 48, 52, 54
- Признак Y: 21, 24, 24, 27, 27, 30, 33, 36, 36, 39

Шаг 1: Вычисление среднего значения (М) и показателей вариации (дисперсия и стандартное отклонение)

Для признака X:
- Среднее значение (М):
\[
M_X = \frac{27 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40 + 44 + 48 + 52 + 54}{10} = \frac{ 27 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40 + 44 + 48 + 52 + 54}{10} = 40.5
\]

- Дисперсия (D):
\[
D_X = \frac{(27 - 40.5)^2 + (32 - 40.5)^2 + (34 - 40.5)^2 + (36 - 40.5)^2 + (38 - 40.5)^2 + (40 - 40.5)^2 + (44 - 40.5)^2 + (48 - 40.5)^2 + (52 - 40.5)^2 + (54 - 40.5)^2}{10}
\]
\[
D_X = \frac{(-13.5)^2 + (-8.5)^2 + (-6.5)^2 + (-4.5)^2 + (-2.5)^2 + (-0.5)^2 + (3.5)^2 + (7.5)^2 + (11.5)^2 + (13.5)^2}{10} = \frac{182.25 + 72.25 + 42.25 + 20.25 + 6.25 + 0.25 + 12.25 + 56.25 + 132.25 + 182.25}{10} = 51.5
\]

- Стандартное отклонение (σ):
\[
\sigmaX = \sqrt{DX} = \sqrt{51.5} \approx 7.17
\]

Для признака Y:
- Среднее значение (М):
\[
M_Y = \frac{21 + 24 + 24 + 27 + 27 + 30 + 33 + 36 + 36 + 39}{10} = \frac{ 21 + 24 + 24 + 27 + 27 + 30 + 33 + 36 + 36 + 39}{10} = 30.3
\]

- Дисперсия (D):
\[
D_Y = \frac{(21 - 30.3)^2 + (24 - 30.3)^2 + (24 - 30.3)^2 + (27 - 30.3)^2 + (27 - 30.3)^2 + (30 - 30.3)^2 + (33 - 30.3)^2 + (36 - 30.3)^2 + (36 - 30.3)^2 + (39 - 30.3)^2}{10}
\]
\[
D_Y = \frac{(-9.3)^2 + (-6.3)^2 + (-6.3)^2 + (-3.3)^2 + (-3.3)^2 + (-0.3)^2 + (2.7)^2 + (5.7)^2 + (5.7)^2 + (8.7)^2}{10} = \frac{86.49 + 39.69 + 39.69 + 10.89 + 10.89 + 0.09 + 7.29 + 32.49 + 32.49 + 75.69}{10} = 30.4
\]

- Стандартное отклонение (σ):
\[
\sigmaY = \sqrt{DY} = \sqrt{30.4} \approx 5.52
\]

Выводы:
- Признак X имеет среднее значение 40.5 и стандартное отклонение 7.17, что указывает на умеренную вариацию.
- Признак Y имеет среднее значение 30.3 и стандартное отклонение 5.52, что также указывает на умеренную вариацию.

2. Построение интервального ряда распределения для признака X

Ш... - Разобьем данные на 3 интервала: - Интервал 1: [27, 37) - Интервал 2: [37, 47) - Интервал 3: [47, 57) - Интервал 1: 4 значения (27, 32, 34, 36) - Интервал 2: 4 значения (38, 40, 44, 48) - Интервал 3: 2 значения (52, 54) - Гистограмма: по оси X - интервалы, по оси Y - частоты. - Полигон: соединяем точки, соответствующие частотам. - Среднее значение по сгруппированным данным: \[ M_{groupe} = \frac{(27+37) \cdot 4 + (37+47) \cdot 4 + (47+57) \cdot 2}{10} = \frac{64 + 168 + 88}{10} = 32 \] - Среднее значение по исходным данным (40.5) и по сгруппированным (32) отличается, что может быть связано с потерей информации при группировке. - 21: 1 - 24: 2 - 27: 2 - 30: 1 - 33: 1 - 36: 2 - 39: 1 - Полигон: соединяем точки частот. - Кумулята: накапливаем частоты. - Среднее значение по сгруппированным данным: \[ M_{groupe} = \frac{(21 \cdot 1 + 24 \cdot 2 + 27 \cdot 2 + 30 \cdot 1 + 33 \cdot 1 + 36 \cdot 2 + 39 \cdot 1)}{10} = \frac{21 + 48 + 54 + 30 + 33 + 72 + 39}{10} = 30.7 \] - Среднее значение по исходным данным (30.3) и по сгруппированным (30.7) близки, что указывает на хорошую согласованность. - Для 10 наблюдений и уровня значимости 0.003 (двусторонний тест), критическое значение t можно найти в таблице t-распределения. - Для X: \[ CIX \pm t \cdot \frac{\sigma_X}{\sqrt{n}} = 40.5 \pm t \cdot \frac{7.17}{\sqrt{10}} \] - Для Y: \[ CIY \pm t \cdot \frac{\sigma_Y}{\sqrt{n}} = 30.3 \pm t \cdot \frac{5.52}{\sqrt{10}} \] - Для X: количество значений выше 40.5. - Для Y: количество значений выше 30.3. - Используем формулу для доверительного интервала для доли. В результате анализа мы получили числовые характеристики, построили распределения и сделали выводы о вариации и однородности данных.