Задача. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки взято 150 из 2000 коробок, содержащихся в выборке (см. таблицу). Вес упаковки (гр.) Менее 975 975-1000 1000-1025 1025-1050 Более 1050 Всего Число

Для решения задачи будем использовать методы статистики, в частности, доверительные интервалы для доли.

Шаг 1: Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключена доля упаковок, вес которых менее 1000 г, во в...

1. :

   $$\omega = \frac{m}{n} = \frac{16 + 38}{150} = \frac{54}{150} = 0,36$$

2. : Стандартная ошибка (SE) для доли рассчитывается по формуле:

   $$SE = \sqrt{\frac{\omega(1 - \omega)}{n}} = \sqrt{\frac{0,36(1 - 0,36)}{150}} = \sqrt{\frac{0,36 \cdot 0,64}{150}} \approx \sqrt{\frac{0,2304}{150}} \approx \sqrt{0,001536} \approx 0,0392$$

3. : Для вероятности 0,9973 (или 99,73%) z-значение составляет примерно 3 (это значение можно найти в таблице стандартного нормального распределения).

4. :

   $$\text{Границы} = \omega \pm z \cdot SE = 0,36 \pm 3 \cdot 0,0392$$
   $$= 0,36 \pm 0,1176$$
   $$= [0,36 - 0,1176, 0,36 + 0,1176] = [0,2424, 0,4776]$$

Таким образом, с вероятностью 0,9973 доля упаковок, вес которых менее 1000 г, во всей партии находится в интервале ([0,2424; 0,4776]).

1. : Мы ищем вероятность того, что истинная доля (\omega) находится в интервале:

   $$[\omega - 0,05, \omega + 0,05] = [0,36 - 0,05, 0,36 + 0,05] = [0,31, 0,41]$$

2. : Мы уже рассчитали стандартную ошибку (SE) как 0,0392.

3. : Для границ 0,31 и 0,41 мы можем найти соответствующие z-значения:

   $$z_1 = \frac{0,31 - 0,36}{0,0392} \approx \frac{-0,05}{0,0392} \approx -1,276$$
   $$z_2 = \frac{0,41 - 0,36}{0,0392} \approx \frac{0,05}{0,0392} \approx 1,276$$

4. : Теперь мы можем найти вероятность, соответствующую этим z-значениям. Используя таблицу стандартного нормального распределения:

   $$P(Z 1,276) - P(Z -1,276) \approx 0,8997 - 0,1003 = 0,7994$$

Таким образом, вероятность того, что доля упаковок, вес которых менее 1000 г, во всей партии отличается от доли таких упаковок в выборке не более, чем на 0,05 (по абсолютной величине), составляет примерно 0,7994 или 79,94%.