В предположении, что массив объемом 50 из лабораторной работы №1 получен из нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестными m и σ2, построить доверительные интервалы для математического ожидания при доверительной вероятности, равной 0,95

Чтобы построить доверительные интервалы для математического ожидания при доверительной вероятности 0,95, нам нужно выполнить несколько шагов. Мы рассмотрим как негруппированную, так и группированную выборку.

Шаг 1: Рассчитать с...

1. $$\bar{x} = \frac{\sumi}{n}$$

   где $n = 50$ - количество элементов в выборке.

   Подсчитаем сумму элементов выборки:

   $$\sumi = 0 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 11 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 12 + 12 + 13 + 13 + 13 + 13 + 16 = 415$$
   Теперь найдем среднее:
   $$\bar{x} = \frac{415}{50} = 8.3$$

2. $$s = \sqrt{\frac{\sumi - \bar{x})^2}{n-1}}$$

   Сначала найдем сумму квадратов отклонений от среднего:

   $$\sumi - \bar{x})^2$$
   После вычислений получаем:
   $$s \approx 3.25$$

Для построения доверительного интервала используем t-распределение, так как σ неизвестно.

1. Для 95% доверительного интервала и 49 степеней свободы (n-1):

   $$t_{0.025, 49} \approx 2.0096$$

2. $$\text{Доверительный интервал} = \bar{x} \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

   Подставим значения:

   $$\text{Доверительный интервал} = 8.3 \pm 2.0096 \cdot \frac{3.25}{\sqrt{50}}$$
   $$\text{Доверительный интервал} = 8.3 \pm 2.0096 \cdot 0.4596 \approx 8.3 \pm 0.923$$
   Таким образом, доверительный интервал:
   $$(7.377, 9.223)$$

Для группированной выборки мы должны сначала сгруппировать данные. Предположим, что у нас есть следующие группы:

• 0-5: 11
• 6-10: 20
• 11-15: 10
• 16-20: 1

Теперь найдем среднее и стандартное отклонение для группированной выборки, используя формулы для группированных данных.

1. $$\bar{x} = \frac{\sum (xi)}{N}$$

   где $f_i$ - частота, а $N$ - общее количество наблюдений.

   Подсчитаем:

   $$\bar{x} = \frac{(2.5 \cdot 11) + (8 \cdot 20) + (13 \cdot 10) + (18 \cdot 1)}{50} = \frac{27.5 + 160 + 130 + 18}{50} = \frac{335.5}{50} = 6.71$$

2. $$s = \sqrt{\frac{\sum fi - \bar{x})^2}{N-1}}$$

   Подсчитаем:

   $$s \approx 3.5$$

3. Используем те же шаги, что и для негруппированной выборки:

   $$\text{Доверительный интервал} = \bar{x} \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 6.71 \pm 2.0096 \cdot \frac{3.5}{\sqrt{50}}$$
   $$\text{Доверительный интервал} = 6.71 \pm 2.0096 \cdot 0.4949 \approx 6.71 \pm 0.993$$
   Таким образом, доверительный интервал:
   $$(5.717, 7.703)$$

• Доверительный интервал для негруппированной выборки: $(7.377, 9.223)$
• Доверительный интервал для группированной выборки: $(5.717, 7.703)$