Пocse 40 35 50 Задача 5. На основани данных по результатам ОГЭ по математике в двух школах определить, тея ли достоверные отличия в распределении результатов (дифференцированности) 1 этих школ? egin{array}{lcccc} & « 2 » & « 3 » & « 4 » & ext { «5" } \ 1

Для определения достоверности отличий в распределении результатов между двумя школами, мы можем использовать критерий хи-квадрат (χ²). Этот критерий позволяет проверить, есть ли статистически значимые различия между ожидаемыми и наблюдаемыми частот...

У нас есть данные по двум школам:

Оценка	1 школа	2 школа
«2»	35	19

Общее количество учащихся в каждой школе:

• 1 школа: $35 + 42 + 35 + 38 = 150$
• 2 школа: $19 + 20 + 30 + 21 = 90$

Общее количество учащихся в обеих школах:

$$150 + 90 = 240$$

Теперь мы можем рассчитать ожидаемые частоты для каждой оценки в каждой школе. Ожидаемая частота рассчитывается по формуле:

Ei) \times (Сумма \, по \, столбцу_j)}{Общее \, количество}

• Для «2»: $E_{11} = \frac{150 \times (35 + 19)}{240} = \frac{150 \times 54}{240} = 33.75$

• Для «3»: $E_{12} = \frac{150 \times (42 + 20)}{240} = \frac{150 \times 62}{240} = 38.75$

• Для «4»: $E_{13} = \frac{150 \times (35 + 30)}{240} = \frac{150 \times 65}{240} = 40.625$

• Для «5»: $E_{14} = \frac{150 \times (38 + 21)}{240} = \frac{150 \times 59}{240} = 36.875$

• Для «2»: $E_{21} = \frac{90 \times (35 + 19)}{240} = \frac{90 \times 54}{240} = 20.25$

• Для «3»: $E_{22} = \frac{90 \times (42 + 20)}{240} = \frac{90 \times 62}{240} = 23.25$

• Для «4»: $E_{23} = \frac{90 \times (35 + 30)}{240} = \frac{90 \times 65}{240} = 24.375$

• Для «5»: $E_{24} = \frac{90 \times (38 + 21)}{240} = \frac{90 \times 59}{240} = 22.125$

Теперь мы можем рассчитать значение χ² по формуле:

$$χ² = \sum \frac{(O{ij})^2}{E_{ij}}$$

где $O{ij}$ — ожидаемые частоты.

Подсчитаем для каждой оценки:

1. Для «2»:

   $$\frac{(35 - 33.75)^2}{33.75} + \frac{(19 - 20.25)^2}{20.25}$$

2. Для «3»:

   $$\frac{(42 - 38.75)^2}{38.75} + \frac{(20 - 23.25)^2}{23.25}$$

3. Для «4»:

   $$\frac{(35 - 40.625)^2}{40.625} + \frac{(30 - 24.375)^2}{24.375}$$

4. Для «5»:

   $$\frac{(38 - 36.875)^2}{36.875} + \frac{(21 - 22.125)^2}{22.125}$$

После подсчета всех значений χ², мы сравниваем полученное значение с критическим значением из таблицы распределения χ² для заданного уровня значимости (например, 0.05) и числа степеней свободы. Степени свободы рассчитываются как:

$$(df) = (количество \, строк - 1) \times (количество \, столбцов - 1) = (2 - 1)(4 - 1) = 3$$

Если полученное значение χ² больше критического значения, то мы можем утверждать, что различия в распределении результатов между двумя школами статистически значимы. Если меньше — различия незначимы.

Таким образом, мы можем сделать вывод о достоверности отличий в распределении результатов между двумя школами.