наити доверительныи интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания нормально распределенного количественного признака генеральной совокупности, если выборочная средняя , генеральное среднее квадратическое отклонение равно ,

Добавлена: 10.04.2026
Обновлена: 10.04.2026
Предмет: Статистика
Автор: Кэмп

#Прикладная статистика в экономике
#Статистическое моделирование

Условие:

наити доверительныи интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания нормально распределенного количественного признака $X$ генеральной совокупности, если выборочная средняя $\bar{x}_{B}=23$ , генеральное среднее квадратическое отклонение равно $\sigma=4$ , объем выборки $n=36$ . Решить задачу для случая, когда $n=80$ . Сравнить полученные доверительные интервалы. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000 ч. Найти с надежностью $\gamma=0,95$ и $\gamma=0,99$ доверительные интервалы для средней продолжительности горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы $\sigma=40$ ч. Сравнить полученные доверительные интервалы. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нормально. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью $\gamma=0,925$ точность оценки математического ожидания $a$ нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна $\delta=1,6$ , если известно среднее квадратическое отклонение $\sigma=8$ . Найти доверительный интервал для оценки с надежностью $\gamma=0,99$ неизвестного математического ожидания $a$ нормально распределенного признака $X$ генеральной совокупности, если выборочная средняя $\bar{x}_{B}=18,4$ , исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение $s=3$ и объем выборки: а) $n=25$ ; б) $n=18$ . В результате измерения роста 16 юношей, обучающихся в университете, оказалось, что средний рост равен 174 см. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 среднего роста юношей-студентов всего университета, если исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение роста студентов равно $6,5 \mathrm{~cm}$ . По данным выборки объема $n=30$ найден доверительный интервал для оценки математического ожидания $a$ нормально распределенного признака $X$ генеральной совокупности: $43,32<a<56,68$ . Найти надежность полученной интервальной оценки, если известно, что выборочная средняя $\bar{x}_{B}=50$ , а исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение $s=10$

Решение:

Задача 1: Доверительный интервал для $\mu$ при известном $\sigma$

Дано:

Надежность: $\gamma = 0.95$
Выборочная средняя: $\bar{x}_B = 23$
Генеральное СКВО: $\sigma = 4$

Найти:

Доверительный интервал для $\mu$ при объеме выборки $n_1 = 36$ .
Доверительный интервал для $\mu$ при объеме выборки $n_2 = 80$ .
Сравнить интервалы.

Решение

Поскольку $\sigma$ известно и выборка достаточно велика (или предполагается нормальное распределение), доверительный интервал для математического ожидания $\mu$ строится по формуле:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой параметр используется для определения критического значения при построении доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) неизвестно, а объем выборки мал (n < 30)?

Квантиль стандартного нормального распределения (z-критерий).

Квантиль t-распределения Стьюдента.

Квантиль хи-квадрат распределения.

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности при известном среднем квадратическом отклонении (СКО) генеральной совокупности ( $\sigma$ ) и большом объеме выборки ( $n \ge 30$ ) рассчитывается по формуле $\bar{x} \pm z_{\gamma} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , где $\bar{x}$ — выборочное среднее, $z_{\gamma}$ — квантиль стандартного нормального распределения, соответствующий заданной надежности $\gamma$ .
Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестном СКО генеральной совокупности ( $\sigma$ ) и малом объеме выборки ( $n < 30$ ) рассчитывается по формуле $\bar{x} \pm t_{\gamma, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$ , где $s$ — исправленное выборочное СКО, $t_{\gamma, n-1}$ — квантиль распределения Стьюдента с $n-1$ степенями свободы, соответствующий заданной надежности $\gamma$ .
Надежность ( $\gamma$ ) — это вероятность того, что истинное значение параметра генеральной совокупности (например, математического ожидания) попадет в построенный доверительный интервал.
Точность оценки ( $\delta$ или $\Delta$ ) — это половина длины доверительного интервала, показывающая максимальное отклонение выборочной средней от истинного математического ожидания. Она рассчитывается как $z_{\gamma} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (при известном $\sigma$ ) или $t_{\gamma, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$ (при неизвестном $\sigma$ ).
Увеличение объема выборки ( $n$ ) или уменьшение надежности ( $\gamma$ ) приводит к сужению доверительного интервала и повышению точности оценки, тогда как уменьшение объема выборки или увеличение надежности приводит к расширению интервала.