459. Ниже приведены результаты измерення роста (в см) случайно отобранных 100 студентов. & 10 & 14 & 26 & 28 & 12 & 8 & 2 end{tabular} Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов. Указание. Найти середины интервала и

Чтобы найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста студентов, следуем...

Для каждого интервала роста находим середину: - Для интервала \(154-158\): \[ \text{Середина} = \frac{154 + 158}{2} = 156 \] - Для интервала \(158-162\): \[ \text{Середина} = \frac{158 + 162}{2} = 160 \] - Для интервала \(162-166\): \[ \text{Середина} = \frac{162 + 166}{2} = 164 \] - Для интервала \(166-170\): \[ \text{Середина} = \frac{166 + 170}{2} = 168 \] - Для интервала \(170-174\): \[ \text{Середина} = \frac{170 + 174}{2} = 172 \] - Для интервала \(174-178\): \[ \text{Середина} = \frac{174 + 178}{2} = 176 \] - Для интервала \(178-182\): \[ \text{Середина} = \frac{178 + 182}{2} = 180 \] Теперь составим таблицу, где будем использовать середины интервалов и количество студентов: \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Середина (x)} \text{Число студентов (n)} n \cdot x \\ \hline 156 10 1560 \\ 160 14 2240 \\ 164 26 4264 \\ 168 28 4704 \\ 172 12 2064 \\ 176 8 1408 \\ 180 2 360 \\ \hline \end{array} \] Выборочная средняя (\(\bar{x}\)) рассчитывается по формуле: \[ \bar{x} = \frac{\sum (n \cdot x)}{N} \] где \(N\) — общее количество студентов. Сначала найдем сумму \(n \cdot x\): \[ \sum (n \cdot x) = 1560 + 2240 + 4264 + 4704 + 2064 + 1408 + 360 = 13700 \] Общее количество студентов: \[ N = 10 + 14 + 26 + 28 + 12 + 8 + 2 = 100 \] Теперь подставим в формулу: \[ \bar{x} = \frac{13700}{100} = 137 \] Выборочная дисперсия (\(S^2\)) рассчитывается по формуле: \[ S^2 = \frac{\sum n (x - \bar{x})^2}{N - 1} \] Сначала найдем \( (x - \bar{x})^2 \) и \( n (x - \bar{x})^2 \): \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Середина (x)} n x - \bar{x} (x - \bar{x})^2 n (x - \bar{x})^2 \\ \hline 156 10 156 - 166.5 = -10.5 110.25 1102.5 \\ 160 14 160 - 166.5 = -6.5 42.25 591.5 \\ 164 26 164 - 166.5 = -2.5 6.25 162.5 \\ 168 28 168 - 166.5 = 1.5 2.25 63 \\ 172 12 172 - 166.5 = 5.5 30.25 363 \\ 176 8 176 - 166.5 = 9.5 90.25 722 \\ 180 2 180 - 166.5 = 13.5 182.25 364.5 \\ \hline \end{array} \] Теперь найдем сумму \(n (x - \bar{x})^2\): \[ \sum n (x - \bar{x})^2 = 1102.5 + 591.5 + 162.5 + 63 + 363 + 722 + 364.5 = 3067.5 \] Теперь подставим в формулу для дисперсии: \[ S^2 = \frac{3067.5}{100 - 1} = \frac{3067.5}{99} \approx 31.0 \] Выборочная средняя роста студентов: \[ \bar{x} \approx 166.5 \text{ см} \] Выборочная дисперсия роста студентов: \[ S^2 \approx 31.0 \text{ см}^2 \]