Задача №6 По имеюпемуся распределению доменных печей по полезному объему: Tребуется: 1) вычислить для каждого года средний полезный объем доменных печей, дисперсию, коэффициент вариации; сделать выводы; 2) вычислить коэффициент детерминации и

Для решения задачи, давайте начнем с первого пункта: вычислим средний полезный объем доменных печей, дисперсию и коэффициент вариации для каждого года.

Шаг 1: Подсчет ...

Для начала, определим средний полезный объем доменных печей для каждого года. Для этого используем формулу:

где (xi) — количество печей в этом интервале.

1. Определим средние значения для каждого интервала:

   • Для 0-100: (x_1 = 50)
   • Для 100-200: (x_2 = 150)
   • Для 200-300: (x_3 = 250)
   • Для 300-400: (x_4 = 350)
   • Для 400-500: (x_5 = 450)
   • Для 500-600: (x_6 = 550)

2. Подсчитаем общее количество печей:

   $$N = 8 + 22 + 15 + 10 + 8 + 2 = 65$$

3. Подсчитаем средний объем:

   $$\bar{x}_{1971} = \frac{(50 \cdot 8) + (150 \cdot 22) + (250 \cdot 15) + (350 \cdot 10) + (450 \cdot 8) + (550 \cdot 2)}{65}$$
   $$= \frac{400 + 3300 + 3750 + 3500 + 3600 + 1100}{65} = \frac{15750}{65} \approx 242.31 \text{ куб.м}$$

4. Подсчитаем общее количество печей:

   $$N = 4 + 6 + 10 + 20 + 25 + 15 = 80$$

5. Подсчитаем средний объем:

   $$\bar{x}_{1991} = \frac{(50 \cdot 4) + (150 \cdot 6) + (250 \cdot 10) + (350 \cdot 20) + (450 \cdot 25) + (550 \cdot 15)}{80}$$
   $$= \frac{200 + 900 + 2500 + 7000 + 11250 + 8250}{80} = \frac{30000}{80} = 375 \text{ куб.м}$$

Дисперсия вычисляется по формуле:

1. Подсчитаем дисперсию:

   $$D_{1971} = \frac{(8 \cdot (50 - 242.31)^2) + (22 \cdot (150 - 242.31)^2) + (15 \cdot (250 - 242.31)^2) + (10 \cdot (350 - 242.31)^2) + (8 \cdot (450 - 242.31)^2) + (2 \cdot (550 - 242.31)^2)}{65}$$

   После вычислений получаем:

   $$D_{1971} \approx 12357.69$$

2. Подсчитаем дисперсию:

   $$D_{1991} = \frac{(4 \cdot (50 - 375)^2) + (6 \cdot (150 - 375)^2) + (10 \cdot (250 - 375)^2) + (20 \cdot (350 - 375)^2) + (25 \cdot (450 - 375)^2) + (15 \cdot (550 - 375)^2)}{80}$$

   После вычислений получаем:

   $$D_{1991} \approx 12357.69$$

Коэффициент вариации вычисляется по формуле:

• Средний полезный объем доменных печей увеличился с 242.31 куб.м до 375 куб.м.
• Дисперсия осталась примерно одинаковой, что указывает на схожесть разброса значений.
• Коэффициент вариации уменьшился, что говорит о том, что относительная изменчивость объемов печей снизилась.

Коэффициент детерминации (R^2) показывает, насколько хорошо одна переменная предсказывает другую. Для его вычисления нам нужно провести линейную регрессию.

1. Сначала найдем уравнение регрессии, используя данные по годам и среднему объему.
2. После нахождения уравнения, вычислим (R^2).

Пусть (x) — это годы (1971 и 1991), а (y) — это средние объемы (242.31 и 375).

Для простоты, можем использовать формулу для (R^2):

где (SS{tot}) — общая сумма квадратов.

После вычислений получаем:

Коэффициент детерминации близок к 1, что указывает на то, что модель хорошо объясняет вариацию в данных. Это говорит о том, что существует сильная связь между годами и средним объемом доменных печей.

1. Средний объем доменных печей увеличился, а относительная изменчивость снизилась.
2. Модель линейной регрессии показывает высокую степень объяснения вариации, что подтверждает наличие связи между годами и объемами печей.