построить эмпирическую функцию распределения мпр данным таблицы и вычислить числовые характеристики выборки Баллы X1 0 1 2 3 4 Число студентов n 2 6 5 3 4

Чтобы построить эмпирическую функцию распределения (ЭФР) и вычислить числовые характеристики выборки, следуем следующим шагам:

Шаг 1...

Сначала найдем общее количество студентов, суммируя данные из таблицы:

$$n = n1 + n3 + n_4 = 2 + 6 + 5 + 3 + 4 = 20$$

Эмпирическая функция распределения $F(x)$ показывает долю наблюдений, которые меньше или равны $x$. Мы будем вычислять $F(x)$ для каждого значения $X$.

1. Для $X = 0$:

   $$F(0) = \frac{n_0}{n} = \frac{2}{20} = 0.1$$

2. Для $X = 1$:

   $$F(1) = \frac{n1}{n} = \frac{2 + 6}{20} = \frac{8}{20} = 0.4$$

3. Для $X = 2$:

   $$F(2) = \frac{n1 + n_2}{n} = \frac{2 + 6 + 5}{20} = \frac{13}{20} = 0.65$$

4. Для $X = 3$:

   $$F(3) = \frac{n1 + n3}{n} = \frac{2 + 6 + 5 + 3}{20} = \frac{16}{20} = 0.8$$

5. Для $X = 4$:

   $$F(4) = \frac{n1 + n3 + n_4}{n} = \frac{2 + 6 + 5 + 3 + 4}{20} = \frac{20}{20} = 1.0$$

Теперь мы можем записать эмпирическую функцию распределения:

$$\begin{align*} F(0) = 0.1 \\ F(1) = 0.4 \\ F(2) = 0.65 \\ F(3) = 0.8 \\ F(4) = 1.0 \\ \end{align*}$$

Теперь вычислим числовые характеристики выборки, такие как среднее значение и дисперсия.

1. :

   $$\bar{X} = \frac{\sum (Xi)}{n} = \frac{0 \cdot 2 + 1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4}{20}$$
   $$= \frac{0 + 6 + 10 + 9 + 16}{20} = \frac{41}{20} = 2.05$$

2. : Сначала найдем $E(X^2)$:

   $$E(X^2) = \frac{\sum (Xi)}{n} = \frac{0^2 \cdot 2 + 1^2 \cdot 6 + 2^2 \cdot 5 + 3^2 \cdot 3 + 4^2 \cdot 4}{20}$$
   $$= \frac{0 + 6 + 20 + 27 + 64}{20} = \frac{117}{20} = 5.85$$
   Теперь можем найти дисперсию:
   $$D = E(X^2) - (\bar{X})^2 = 5.85 - (2.05)^2 = 5.85 - 4.2025 = 1.6475$$

• Эмпирическая функция распределения:
  $$F(0) = 0.1, \quad F(1) = 0.4, \quad F(2) = 0.65, \quad F(3) = 0.8, \quad F(4) = 1.0$$
• Среднее значение $\bar{X} = 2.05$
• Дисперсия $D = 1.6475$

Таким образом, мы построили эмпирическую функцию распределения и вычислили числовые характеристики выборки.