Для решения задачи нам необходимо рассчитать асимметрию и эксцесс распределения численности работников по уровню годового дохода.
Шаг 1: Подсчет необходимых величин
Сначала мы найдем среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение. Для этого нам нужно рассчитать средний доход для каждой группы.
1.1. Находи...
Для каждой группы дохода мы можем взять среднее значение, которое будет равно середине интервала:
- Для интервала \(2,0-2,5\): \( \frac{2,0 + 2,5}{2} = 2,25 \)
- Для интервала \(2,5-3,0\): \( \frac{2,5 + 3,0}{2} = 2,75 \)
- Для интервала \(3,0-3,5\): \( \frac{3,0 + 3,5}{2} = 3,25 \)
- Для интервала \(3,5-4,0\): \( \frac{3,5 + 4,0}{2} = 3,75 \)
- Для интервала \(4,0-4,5\): \( \frac{4,0 + 4,5}{2} = 4,25 \)
- Для интервала \(4,5-5,0\): \( \frac{4,5 + 5,0}{2} = 4,75 \)
Теперь мы умножим средний доход на численность работников в каждой группе:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Годовой доход (тыс. ден. ед.)} \text{Численность (чел.)} \text{Средний доход} \times \text{Численность} \\
\hline
2,25 25 56,25 \\
2,75 477 1311,75 \\
3,25 493 1604,25 \\
3,75 396 1485 \\
4,25 276 1173 \\
4,75 16 76 \\
\hline
\end{array}
\]
Общее количество работников:
\[
N = 25 + 477 + 493 + 396 + 276 + 16 = 1683
\]
Общий доход:
\[
\text{Общий доход} = 56,25 + 1311,75 + 1604,25 + 1485 + 1173 + 76 = 4706,5
\]
Средний доход:
\[
\bar{x} = \frac{\text{Общий доход}}{N} = \frac{4706,5}{1683} \approx 2,80 \text{ тыс. ден. ед.}
\]
Теперь мы можем рассчитать дисперсию:
Для каждой группы находим отклонение от среднего дохода и его квадрат:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Годовой доход (тыс. ден. ед.)} \text{Численность (чел.)} \text{Отклонение} \text{Квадрат отклонения} \\
\hline
2,25 25 2,25 - 2,80 = -0,55 0,3025 \\
2,75 477 2,75 - 2,80 = -0,05 0,0025 \\
3,25 493 3,25 - 2,80 = 0,45 0,2025 \\
3,75 396 3,75 - 2,80 = 0,95 0,9025 \\
4,25 276 4,25 - 2,80 = 1,45 2,1025 \\
4,75 16 4,75 - 2,80 = 1,95 3,8025 \\
\hline
\end{array}
\]
Теперь умножим квадрат отклонения на численность работников и найдем сумму:
\[
\text{Дисперсия} = \frac{\sum (ni - \bar{x})^2)}{N} = \frac{(25 \cdot 0,3025) + (477 \cdot 0,0025) + (493 \cdot 0,2025) + (396 \cdot 0,9025) + (276 \cdot 2,1025) + (16 \cdot 3,8025)}{1683}
\]
Считаем:
\[
= \frac{(7,5625) + (1,1925) + (99,8925) + (357,99) + (580,865) + (60,84)}{1683} \approx \frac{1109,36}{1683} \approx 0,658
\]
Стандартное отклонение:
\[
\sigma = \sqrt{0,658} \approx 0,812
\]
Асимметрия рассчитывается по формуле:
\[
\text{Асимметрия} = \frac{\sum ni - \bar{x})^3}{N \cdot \sigma^3}
\]
Эксцесс рассчитывается по формуле:
\[
\text{Эксцесс} = \frac{\sum ni - \bar{x})^4}{N \cdot \sigma^4} - 3
\]
На основании полученных значений асимметрии и эксцесса можно сделать выводы о характере распределения доходов работников. Если асимметрия положительная, то распределение смещено вправо, если отрицательная — влево. Эксцесс показывает, насколько распределение острое или плоское по сравнению с нормальным.
Таким образом, мы можем проанализировать распределение доходов работников и сделать выводы о его характере.
