Условие:
При фотометрическом определении фосфора в кормах получены
следующие значения (в г): 5,55; 5,56; 5,58; 5,59; 6,10; 6,20. Определите доверительный
интервал среднего значения массы фосфора при доверительной вероятности Р = 95% и
относительную ошибку среднего.
Решение.
1) С помощью Q-критерия выясняем, имеются ли грубые промахи, так как 6,20 может
быть сомнительным значением: Qрасч.= (6,20 – 6,10) / (6,20 – 5,55) = 0,15
Так как справочное значение Qтабл. при n = 6 и Р = 0,95 равно 0,73 и Qрасч.(0,15)
меньше Qтабл.(0,73), то грубые промахи отсутствуют и выборка однородна.
2) Рассчитаем среднее значение Х = (5,55 + 5,56 + 5,58 + 5,59 + 6,10 + 6,20)/6 = 5,76
3) Рассчитаем отклонения d1 = 5,55 – 5,76 = - 0,21; d2 = 5,56 – 5,76 = - 0,20; d3 = 5,58 –
5,76 = - 0,18; d4 = 5,59 – 5,76 = - 0,17; d5 = 6,10 – 5,76 = 0,34;
d6 = 6,20 – 5,76 = 0,44
4) Oпределяем стандартное отклонение
S = [((- 0,21)2 + (-0,20)2 + (-0,18)2 + (-0,17)2 + 0,342 + 0,442)/ (n-1)]0,5
S = [ (0,0441 + 0,0400 + 0,0324 + 0.0289 + 0,1156 + 0,1936) / 5]0,5 = [0,4546/5]0,5 = 0,09090,5 =
0,30
5) Находим полуширину доверительного интервала. Табличное значение коэффициента
Стьюдента при n=6 и Р=0.95 равно tPf = t0,95,6 = 2,57 (приложение 2):
ΔХ = tPf S / √ n= 2,57 ∙0,30/√6 = 0,32
Доверительный интервал Х ± ΔХ = 5,76 ± 0,32
6)
Рассчитаем
относительную
ε = (ΔХ / Х ) ∙ 100% = (0,32/ 5,76) ∙ 100% = 5,6%
Решение:
Давайте подробно разберем решение задачи по определению доверительного интервала среднего значения массы фосфора и относи...
Мы вычисляем Q-расчетное значение: \[ Q_{\text{расч.}} = \frac{(6,20 - 6,10)}{(6,20 - 5,55)} = \frac{0,10}{0,65} \approx 0,1538 \] Сравниваем с табличным значением Q: - При \( n = 6 \) и \( P = 0,95 \) табличное значение \( Q_{\text{табл.}} = 0,73 \). - Так как \( Q{\text{табл.}} (0,73) \), грубые промахи отсутствуют, и выборка однородна. Находим среднее значение \( \bar{X} \): \[ \bar{X} = \frac{(5,55 + 5,56 + 5,58 + 5,59 + 6,10 + 6,20)}{6} = \frac{34,68}{6} \approx 5,78 \] Вычисляем отклонения от среднего: - \( d_1 = 5,55 - 5,78 = -0,23 \) - \( d_2 = 5,56 - 5,78 = -0,22 \) - \( d_3 = 5,58 - 5,78 = -0,20 \) - \( d_4 = 5,59 - 5,78 = -0,19 \) - \( d_5 = 6,10 - 5,78 = 0,32 \) - \( d_6 = 6,20 - 5,78 = 0,42 \) Вычисляем стандартное отклонение \( S \): \[ S = \sqrt{\frac{((-0,23)^2 + (-0,22)^2 + (-0,20)^2 + (-0,19)^2 + (0,32)^2 + (0,42)^2)}{n-1}} \] \[ S = \sqrt{\frac{(0,0529 + 0,0484 + 0,0400 + 0,0361 + 0,1024 + 0,1764)}{5}} = \sqrt{\frac{0,4562}{5}} \approx \sqrt{0,09124} \approx 0,302 \] Находим полуширину доверительного интервала: - Табличное значение \( t_{0,95,6} = 2,571 \). \[ \Delta X = t_{Pf} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} = 2,571 \cdot \frac{0,302}{\sqrt{6}} \approx 2,571 \cdot 0,1237 \approx 0,318 \] Доверительный интервал: \[ \bar{X} \pm \Delta X = 5,78 \pm 0,318 \] Таким образом, доверительный интервал: \[ (5,78 - 0,318, 5,78 + 0,318) = (5,462, 6,098) \] Вычисляем относительную ошибку: \[ \varepsilon = \left(\frac{\Delta X}{\bar{X}}\right) \cdot 100\% = \left(\frac{0,318}{5,78}\right) \cdot 100\% \approx 5,50\% \] - Доверительный интервал среднего значения массы фосфора: \( (5,462, 6,098) \) - Относительная ошибка среднего: \( 5,50\% \)