Допустим, что при ранжировании отметок на вступительных экзаменах и средних баллов за первую экзаменационную сессию одних и тех же лиц получены следующие ранги: Студент А Б В Г Д Е Ж З И К Вступит. экзамены 2 5 6 1 4 1 7 8 3 9 Экзамен. сессия. 3 6 4 1 2 7

Для нахождения коэффициента ранговой корреляции Спирмена (ρ) и проверки его значимости, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Записать данные

У нас есть два набора данных: ранги по вступительным экзаменам и ранги по экзаменационной сессии.

Студент	Вступит. экзамены (X)	Экзамен. сессия (Y)
А	2	3
Б	5	6
В	6	4
Г	1	1
Д	4	2
Е	1	7
Ж	7	8
З	8	10
И	3	5
К	9	9

Шаг 2: Найти разности рангов

Теперь найдем разности рангов (d) для каждого студента и их квадраты (d²):

Студент	X	Y	d = X - Y	d²
А	2	3	-1	1
Б	5	6	-1	1
В	6	4	2	4
Г	1	1	0	0
Д	4	2	2	4
Е	1	7	-6	36
Ж	7	8	-1	1
З	8	10	-2	4
И	3	5	-2	4
К	9	9	0	0

Шаг 3: Подсчитать сумму к...

Теперь найдем сумму квадратов разностей (Σd²):

$$Σd² = 1 + 1 + 4 + 0 + 4 + 36 + 1 + 4 + 4 + 0 = 56$$

Формула для расчета коэффициента Спирмена:

$$ρ = 1 - \frac{6Σd²}{n(n^2 - 1)}$$

где n — количество пар (в нашем случае n = 10).

Подставим значения:

$$ρ = 1 - \frac{6 \cdot 56}{10(10^2 - 1)} = 1 - \frac{336}{10 \cdot 99} = 1 - \frac{336}{990} \approx 1 - 0.3394 \approx 0.6606$$

Для проверки значимости коэффициента ранговой корреляции Спирмена можно использовать таблицы критических значений или t-тест.

Для n = 10, мы можем использовать t-распределение:

$$t = \frac{ρ \sqrt{n - 2}}{\sqrt{1 - ρ^2}}$$

Подставим значения:

$$t = \frac{0.6606 \sqrt{10 - 2}}{\sqrt{1 - (0.6606)^2}} = \frac{0.6606 \sqrt{8}}{\sqrt{1 - 0.4368}} = \frac{0.6606 \cdot 2.8284}{\sqrt{0.5632}} \approx \frac{1.868}{0.7504} \approx 2.49$$

Теперь сравним полученное значение t с критическим значением t для 8 степеней свободы (n-2) на уровне значимости 0.05. Критическое значение t ≈ 2.306.

Поскольку 2.49 2.306, мы отвергаем нулевую гипотезу и можем сказать, что коэффициент ранговой корреляции значим.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена равен примерно 0.6606, и он значим на уровне 0.05.