Произведено выборочное наблюдение для установления процента изделий высшего сорта в партии однородной продукции. При механическом отборе из партии в 10000 единиц готовых изделий было обследовано 400 единиц, из которых 320 изделий отнесено к высшему сорту.

Для решения задачи мы будем использовать метод доверительных интервалов для пропорции. Давайте р...

Сначала найдем выборочную пропорцию изделий высшего сорта.

Количество обследованных изделий: $n = 400$
Количество изделий высшего сорта: $x = 320$

Выборочная пропорция $\hat{p}$ рассчитывается по формуле:

$$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{320}{400} = 0.8$$

Стандартная ошибка для пропорции рассчитывается по формуле:

$$SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.8 \cdot (1 - 0.8)}{400}} = \sqrt{\frac{0.8 \cdot 0.2}{400}} = \sqrt{\frac{0.16}{400}} = \sqrt{0.0004} = 0.02$$

Для построения доверительного интервала с вероятностью 0.997, нам нужно найти критическое значение $z$. Для уровня доверия 0.997, мы можем использовать таблицу стандартного нормального распределения или калькулятор.

Поскольку уровень значимости $\alpha = 1 - 0.997 = 0.003$, мы ищем $z$ для $\alpha/2 = 0.0015$.

Критическое значение $z$ для $\alpha/2 = 0.0015$ примерно равно 2.96.

Теперь мы можем построить доверительный интервал для пропорции:

$$\hat{p} \pm z \cdot SE$$

Подставляем значения:

$$0.8 \pm 2.96 \cdot 0.02$$

Вычисляем:

$$0.8 \pm 0.0592$$

Теперь мы можем найти границы доверительного интервала:

$$0.8 - 0.0592 = 0.7408$$

$$0.8 + 0.0592 = 0.8592$$

Таким образом, с вероятностью 0.997 возможный процент изделий высшего сорта во всей партии составляет от 74.08% до 85.92%.

С вероятностью 0,997 возможный процент изделий высшего сорта во всей партии составляет от 74.08% до 85.92%.