Пусть (Eξ1)^2/Dξ1=2. Будем искать оценку θ^n для θ=Eξ1 в виде μ∑i=1nx i для μ∈[0,1]. Найдите, при каком μ значение функции риска Rθ^n(θ) будет наименьшим (считается, что θ фиксированно, поэтому при фиксированном n функция Rθ^n(θ) — это функция от μ). В

6 ноября 2025
Статистика

Условие:

Пусть (Eξ1)^2/Dξ1=2
. Будем искать оценку θ^n
для θ=Eξ1
в виде μ∑i=1nxi
для μ∈[0,1]
. Найдите, при каком μ
значение функции риска Rθ^n(θ)
будет наименьшим (считается, что θ
фиксированно, поэтому при фиксированном n
функция Rθ^n(θ)
— это функция от μ
). В качестве ответа введите значение μ
при n=10
.

Решение:

Рассмотрим оценку θ^n = μ∑i=1n ξi, где μ ∈ [0,1] выбирается для минимизации риска Rθ^n(θ) = Eθ[(θ^n – θ)²] при фиксированном θ = Eξ1. 1. Найдём математическое ожидание оценки. Так как Eξ1 = θ, то E[θ^n] = μ∑i=1n Eξi = μnθ. Следовательно, смещение (bias) оценки равно Bias = E[θ^n] – θ = μnθ – θ = θ(μn – 1). 2. Найдём риск (среднеквадратичную ошибку), который состоит из квадрата смещения и дисперсии оценки. Запишем риск: Rθ^n(θ) = (Bias)² + Var(θ^n). 3. Вычислим дисперсию...