Сравнение двух дисперсий Задача 4. Срок хранения продукции, изготовленной по технологии ( A ) и ( B ), соответственно составил: Предполагается, случайные величины распределены по нормальному закону. Проверить нулевую гипотезу ( H_{0}: D(X)=D(Y) ) при

Для проверки нулевой гипотезы \( H_{0}: D(X) = D(Y) \) о равенстве дисперсий двух выборок \( X \) и \( Y \) мы будем использовать критерий Фишера (F-критер...

Сначала найдем выборочные дисперсии для обеих выборок. 1. Вычислим среднее значение \( \bar{X} \): \[ \bar{X} = \frac{\sum (xi)}{N_X} = \frac{(5 \cdot 2) + (6 \cdot 4) + (7 \cdot 4)}{10} = \frac{10 + 24 + 28}{10} = \frac{62}{10} = 6.2 \] 2. Вычислим выборочную дисперсию \( D_X \): \[ Di (xX - 1} \] \[ = \frac{2(5 - 6.2)^2 + 4(6 - 6.2)^2 + 4(7 - 6.2)^2}{10 - 1} \] \[ = \frac{2(1.44) + 4(0.04) + 4(0.64)}{9} \] \[ = \frac{2.88 + 0.16 + 2.56}{9} = \frac{5.6}{9} \approx 0.6222 \] 1. Вычислим среднее значение \( \bar{Y} \): \[ \bar{Y} = \frac{\sum (yi)}{N_Y} = \frac{(5 \cdot 1) + (6 \cdot 8) + (7 \cdot 7) + (8 \cdot 1)}{17} = \frac{5 + 48 + 49 + 8}{17} = \frac{110}{17} \approx 6.47 \] 2. Вычислим выборочную дисперсию \( D_Y \): \[ Di (yY - 1} \] \[ = \frac{1(5 - 6.47)^2 + 8(6 - 6.47)^2 + 7(7 - 6.47)^2 + 1(8 - 6.47)^2}{17 - 1} \] \[ = \frac{1(2.1609) + 8(0.2209) + 7(0.2889) + 1(2.3409)}{16} \] \[ = \frac{2.1609 + 1.7672 + 2.0223 + 2.3409}{16} = \frac{8.2913}{16} \approx 0.5182 \] Теперь мы можем вычислить F-статистику: \[ F = \frac{DY} = \frac{0.6222}{0.5182} \approx 1.202 \] Для уровня значимости \( \alpha = 0.05 \) и степеней свободы \( dfX - 1 = 9 \) и \( dfY - 1 = 16 \) мы находим критическое значение F из таблицы распределения Фишера. Критическое значение \( F_{0.05}(9, 16) \) примерно равно 2.54. Сравниваем вычисленное значение F с критическим значением: \[ F \approx 1.202 2.54 \] Так как \( F F{0}: D(X) = D(Y) \). Это означает, что на уровне значимости \( 0.05 \) нет достаточных оснований утверждать, что дисперсии двух выборок различаются.