Сравнение двух дисперсий Задача 4. Срок хранения продукции, изготовленной по технологии ( A ) и ( B ), соответственно составил: Предполагается, случайные величины распределены по нормальному закону. Проверить нулевую гипотезу ( H_{0}: D(X)=D(Y) ) при

Для проверки нулевой гипотезы $H_{0}: D(X) = D(Y)$ о равенстве дисперсий двух выборок $X$ и $Y$ мы будем использовать критерий Фишера (F-критер...

Сначала найдем выборочные дисперсии для обеих выборок.

1. Вычислим среднее значение $\bar{X}$:

   $$\bar{X} = \frac{\sum (xi)}{N_X} = \frac{(5 \cdot 2) + (6 \cdot 4) + (7 \cdot 4)}{10} = \frac{10 + 24 + 28}{10} = \frac{62}{10} = 6.2$$

2. Вычислим выборочную дисперсию $D_X$:

   Di (xX - 1}
   $$= \frac{2(5 - 6.2)^2 + 4(6 - 6.2)^2 + 4(7 - 6.2)^2}{10 - 1}$$
   $$= \frac{2(1.44) + 4(0.04) + 4(0.64)}{9}$$
   $$= \frac{2.88 + 0.16 + 2.56}{9} = \frac{5.6}{9} \approx 0.6222$$

3. Вычислим среднее значение $\bar{Y}$:

   $$\bar{Y} = \frac{\sum (yi)}{N_Y} = \frac{(5 \cdot 1) + (6 \cdot 8) + (7 \cdot 7) + (8 \cdot 1)}{17} = \frac{5 + 48 + 49 + 8}{17} = \frac{110}{17} \approx 6.47$$

4. Вычислим выборочную дисперсию $D_Y$:

   Di (yY - 1}
   $$= \frac{1(5 - 6.47)^2 + 8(6 - 6.47)^2 + 7(7 - 6.47)^2 + 1(8 - 6.47)^2}{17 - 1}$$
   $$= \frac{1(2.1609) + 8(0.2209) + 7(0.2889) + 1(2.3409)}{16}$$
   $$= \frac{2.1609 + 1.7672 + 2.0223 + 2.3409}{16} = \frac{8.2913}{16} \approx 0.5182$$

Теперь мы можем вычислить F-статистику:

Для уровня значимости $\alpha = 0.05$ и степеней свободы $dfX - 1 = 9$ и $dfY - 1 = 16$ мы находим критическое значение F из таблицы распределения Фишера.

Критическое значение $F_{0.05}(9, 16)$ примерно равно 2.54.

Сравниваем вычисленное значение F с критическим значением:

Так как $F F{0}: D(X) = D(Y)$. Это означает, что на уровне значимости $0.05$ нет достаточных оснований утверждать, что дисперсии двух выборок различаются.