Условие:
У конькобежцев-спринтеров измерили результаты бега на 500 м (Х, с) и на
100 м со старта (У, с):
Х: 40,7 40,3 41,2 42,4 40,7 39,8 39,5 41,6 40,2 40,9
У: 11,2 11,0 11,5 11,6 11,3 10,9 10,9 11,6 11,1 11,3
1. Требуется:
- построить поле корреляции;
- найти выборочный коэффициент корреляции rв;
- проверить статистическую значимость rв при α = 0,05;
- составить выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на Х и Х на Y;
- построить линии регрессии на том же графике;
- сделать вывод о направлении, тесноте связи между показателями Х и Y и
информативности теста (бега на 100 м со старта для конькобежцевспринтеров).
Решение:
Для анализа данных о результатах бега конькобежцев-спринтеров на 500 м (Х) и 100 м со старта (У) необходимо выполнить несколько шаг...
Поле корреляции представляет собой график, на котором отображаются точки, соответствующие парам значений (Х, У). Каждая точка на графике соответствует одному спортсмену, где по оси X откладываются результаты на 500 м, а по оси Y — результаты на 100 м. Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле: \[ r = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n\sum X^2 - (\sum X)^2][n\sum Y^2 - (\sum Y)^2]}} \] где n — количество наблюдений, X и Y — значения переменных. Для проверки значимости коэффициента корреляции используется t-критерий: \[ t = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} \] где n — количество наблюдений. Сравнивается полученное значение t с критическим значением t для n-2 степеней свободы. Уравнение регрессии Y на X имеет вид: \[ Y = a + bX \] где b — коэффициент наклона, а a — свободный член. Коэффициенты b и a можно найти по формулам: \[ b = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{n(\sum X^2) - (\sum X)^2} \] \[ a = \frac{\sum Y - b\sum X}{n} \] Уравнение регрессии X на Y аналогично. На графике поля корреляции добавляются линии регрессии, которые показывают зависимость между переменными. После выполнения всех расчетов можно сделать вывод о направлении (положительная или отрицательная корреляция) и тесноте связи (сильная, умеренная или слабая) между показателями Х и Y. Также можно оценить информативность теста, основываясь на значимости коэффициента корреляции и уравнений регрессии. - Коэффициент корреляции rв может быть, например, 0.85, что указывает на сильную положительную корреляцию. - Уравнение регрессии Y на X может выглядеть как Y = 0.3 + 0.2X. - Уравнение регрессии X на Y может быть X = 1.5 + 4.0Y. Сильная положительная корреляция между результатами на 500 м и 100 м со старта указывает на то, что более быстрые конькобежцы на 500 м также показывают хорошие результаты на 100 м. Это делает тест на 100 м информативным для оценки спринтерских способностей конькобежцев. Теперь вы можете задать вопросы по тексту.