Задача 1. В call-центре 3 оператора. Интенсивность звонков 15 звонков/час. Каждый оператор обрабатывает звонки с интенсивностью 7 звонков/час. Определите: 1) Вероятность отказа (все операторы заняты). 2) Среднюю длину очереди.

Для решения данной задачи мы будем использовать модель массового обслуживания M/M/c, где: - M — означает, что поступление звонков происходит по пуассоновскому закону. - M — означает, что время обслуживания звонков распределено...

1. : \[ \mu_{total} = c \cdot \mu = 3 \cdot 7 = 21 \text{ звонков/час} \] 2. : \[ \rho = \frac{\lambda}{\mu_{total}} = \frac{15}{21} \approx 0.7143 \] Для системы M/M/c вероятность того, что все операторы заняты (P₀) можно вычислить по формуле: \[ P{n=0}^{c} \frac{(\lambda/\mu)^n}{n!}} \] где \( \frac{\lambda}{\mu} = \frac{15}{7} \approx 2.142857 \). Теперь вычислим сумму: \[ \sum_{n=0}^{3} \frac{(2.142857)^n}{n!} = \frac{(2.142857)^0}{0!} + \frac{(2.142857)^1}{1!} + \frac{(2.142857)^2}{2!} + \frac{(2.142857)^3}{3!} \] 1. \( n=0 \): \( \frac{(2.142857)^0}{0!} = 1 \) 2. \( n=1 \): \( \frac{(2.142857)^1}{1!} \approx 2.142857 \) 3. \( n=2 \): \( \frac{(2.142857)^2}{2!} \approx \frac{4.591836}{2} \approx 2.295918 \) 4. \( n=3 \): \( \frac{(2.142857)^3}{3!} \approx \frac{9.857 \approx 9.857}{6} \approx 1.642857 \) Теперь суммируем: \[ 1 + 2.142857 + 2.295918 + 1.642857 \approx 7.081632 \] Теперь подставим в формулу для P₀: \[ P_0 = \frac{1}{7.081632} \approx 0.141 \] Средняя длина очереди (Lq) в системе M/M/c рассчитывается по формуле: \[ L0 \] Где: - \( \frac{\lambda}{\mu} = 2.142857 \) - \( \rho = 0.7143 \) - \( c! = 3! = 6 \) Теперь подставим значения: \[ L_q = \frac{(2.142857)^3 \cdot 0.7143}{6 \cdot (1 - 0.7143)^2} \cdot 0.141 \] 1. \( (2.142857)^3 \approx 9.857 \) 2. \( 1 - 0.7143 \approx 0.2857 \) 3. \( (0.2857)^2 \approx 0.0816 \) Теперь подставим: \[ L_q = \frac{9.857 \cdot 0.7143}{6 \cdot 0.0816} \cdot 0.141 \] \[ L_q = \frac{7.052}{0.4896} \cdot 0.141 \approx 14.396 \cdot 0.141 \approx 2.030 \] 1) Вероятность отказа (все операторы заняты) \( P_0 \approx 0.141 \) или 14.1%. 2) Средняя длина очереди \( L_q \approx 2.030 \) звонков.