Выборка из 50 семей, в которых работают оба родителя показала, что в 36% из них дети посещают детский сад. Аналогичное исследование среди 80 семей, где работает только один из родителей, установило, что в этой группе детским садом пользуются только 25%

Для решения этой задачи мы будем использовать метод проверки гипотезы для двух пропорций.

Шаг 1: Определение ...

• : Пропорции детей, посещающих детский сад, в обеих группах равны.

• : Пропорции детей, посещающих детский сад, в обеих группах различны.

• Для группы с обоими родителями:

  • n1 (размер выборки) = 50
  • p1 (доля детей, посещающих детский сад) = 36% = 0.36
  • x1 (число детей, посещающих детский сад) = 0.36 * 50 = 18

• Для группы с одним родителем:

  • n2 (размер выборки) = 80
  • p2 (доля детей, посещающих детский сад) = 25% = 0.25
  • x2 (число детей, посещающих детский сад) = 0.25 * 80 = 20

Общая пропорция (p) для обеих групп:

$$p = \frac{x1 + x2}{n1 + n2} = \frac{18 + 20}{50 + 80} = \frac{38}{130} \approx 0.2923$$

Стандартная ошибка (SE) для разности пропорций:

$$SE = \sqrt{p(1-p) \left( \frac{1}{n1} + \frac{1}{n2} \right)} = \sqrt{0.2923(1 - 0.2923) \left( \frac{1}{50} + \frac{1}{80} \right)}$$

Сначала вычислим $p(1-p)$:

$$p(1-p) = 0.2923 \times 0.7077 \approx 0.2071$$

Теперь подставим в формулу для SE:

$$SE = \sqrt{0.2071 \left( \frac{1}{50} + \frac{1}{80} \right)} = \sqrt{0.2071 \left( 0.02 + 0.0125 \right)} = \sqrt{0.2071 \times 0.0325} \approx \sqrt{0.00673} \approx 0.0820$$

Теперь мы можем вычислить Z-статистику:

$$Z = \frac{p1 - p2}{SE} = \frac{0.36 - 0.25}{0.0820} \approx \frac{0.11}{0.0820} \approx 1.3415$$

Для уровня значимости 0.01 и двустороннего теста, критические значения Z можно найти в таблице Z. Для α = 0.01, критические значения примерно ±2.576.

Сравниваем Z-статистику с критическими значениями:

• Если |Z| 2.576, то мы отвергаем нулевую гипотезу.
• Если |Z| ≤ 2.576, то мы не отвергаем нулевую гипотезу.

В нашем случае:

$$|Z| \approx 1.3415 \leq 2.576$$

Поскольку Z-статистика не превышает критическое значение, мы не отвергаем нулевую гипотезу. Это означает, что на уровне значимости 0.01 нет статистически значимого различия между пропорциями детей, посещающих детский сад в двух группах.