Задача 2 Распределение игр чемпионата области по футболу по числу забитых мячей: Число забитых мячей за игру Найти: Количество игр 0 21 1 49 2 69 3 55 4 20 5 15 6 7 7 3 10 1 Итого 240 - среднее число забитых мячей за игру; - моду, медиану, размах

Для решения задачи, давайте поэтапно вычислим все необходимые статистические характеристики.

Шаг 1: Подсчет среднего числа ...

Сначала найдем общее количество забитых мячей. Для этого умножим число забитых мячей на количество игр для каждого случая и сложим все результаты.

$$\text{Общее количество мячей} = (0 \times 21) + (1 \times 49) + (2 \times 69) + (3 \times 55) + (4 \times 20) + (5 \times 15) + (6 \times 7) + (7 \times 3) + (10 \times 1)$$

$$= 0 + 49 + 138 + 165 + 80 + 75 + 42 + 21 + 10 = 580$$

Теперь найдем среднее число забитых мячей за игру:

$$\text{Среднее} = \frac{\text{Общее количество мячей}}{\text{Количество игр}} = \frac{580}{240} \approx 2.42$$

Мода — это значение, которое встречается чаще всего. Из таблицы видно, что:

• 0 мячей — 21 игра
• 1 мяч — 49 игр
• 2 мяча — 69 игр (максимум)
• 3 мяча — 55 игр
• 4 мяча — 20 игр
• 5 мячей — 15 игр
• 6 мячей — 7 игр
• 7 мячей — 3 игры
• 10 мячей — 1 игра

: 2 мяча (69 игр).

Для нахождения медианы необходимо упорядочить данные и найти центральное значение. Поскольку общее количество игр — 240, медиана будет находиться между 120-й и 121-й игрой.

Сначала найдем кумулятивные частоты:

• 0 мячей: 21
• 1 мяч: 21 + 49 = 70
• 2 мяча: 70 + 69 = 139 (здесь находится 120-я и 121-я игра)

Таким образом, медиана равна 2.

Размах вариации — это разница между максимальным и минимальным значениями.

$$\text{Размах} = \text{максимум} - \text{минимум} = 10 - 0 = 10$$

Дисперсия рассчитывается по формуле:

$$D = \frac{\sum (xi}{N}$$

где (xi) — количество игр, (\bar{x}) — среднее, (N) — общее количество игр.

Подсчитаем:

$$D = \frac{(0 - 2.42)^2 \cdot 21 + (1 - 2.42)^2 \cdot 49 + (2 - 2.42)^2 \cdot 69 + (3 - 2.42)^2 \cdot 55 + (4 - 2.42)^2 \cdot 20 + (5 - 2.42)^2 \cdot 15 + (6 - 2.42)^2 \cdot 7 + (7 - 2.42)^2 \cdot 3 + (10 - 2.42)^2 \cdot 1}{240}$$

Подсчитаем каждую часть:

• $(0 - 2.42)^2 \cdot 21 = 58.0644 \cdot 21 = 1219.3524$
• $(1 - 2.42)^2 \cdot 49 = 1.8244 \cdot 49 = 89.4336$
• $(2 - 2.42)^2 \cdot 69 = 0.1764 \cdot 69 = 12.1556$
• $(3 - 2.42)^2 \cdot 55 = 0.3364 \cdot 55 = 18.502$
• $(4 - 2.42)^2 \cdot 20 = 2.4964 \cdot 20 = 49.928$
• $(5 - 2.42)^2 \cdot 15 = 6.5764 \cdot 15 = 98.646$
• $(6 - 2.42)^2 \cdot 7 = 12.7364 \cdot 7 = 89.1548$
• $(7 - 2.42)^2 \cdot 3 = 20.7364 \cdot 3 = 62.2092$
• $(10 - 2.42)^2 \cdot 1 = 57.6964$

Теперь сложим все результаты:

$$1219.3524 + 89.4336 + 12.1556 + 18.502 + 49.928 + 98.646 + 89.1548 + 62.2092 + 57.6964 = 1696.078$$

Теперь найдем дисперсию:

$$D = \frac{1696.078}{240} \approx 7.066$$

Среднее квадратическое отклонение — это корень из дисперсии:

$$\sigma = \sqrt{D} \approx \sqrt{7.066} \approx 2.65$$

Коэффициент вариации рассчитывается как отношение среднего квадратического отклонения к среднему значению:

$$CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \cdot 100\% \approx \frac{2.65}{2.42} \cdot 100\% \approx 109.5\%$$

1. Среднее число забитых мячей за игру составляет примерно 2.42.
2. Мода равна 2, что означает, что чаще всего в играх забивается 2 мяча.
3. Медиана также равна 2, что указывает на то, что половина игр имеет 2 или менее забитых мячей.
4. Размах вариации составляет 10, что показывает, что количество забитых мячей варьируется от 0 до 10.
5. Дисперсия равна 7.066, что указывает на значительное рассеяние данных.
6. Среднее квадратическое отклонение равно 2.65, что также подтверждает рассеяние.
7. Коэффициент вариации равен 109.5%, что указывает на высокую степень вариации относительно среднего.

Эти результаты показывают, что в чемпионате области по футболу наблюдается значительное разнообразие в количестве забитых мячей за игру.