В среднем каждый десятый договор страховой компании завершается выплатой по страховому случаю. Компания заключила 5 договоров. Найти вероятность того, что страховой случай наступит: а) один раз; б) хотя бы один раз

Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (заключение договоров), два возможных исхода (стра...

Для нахождения вероятности того, что страховой случай наступит ровно один раз, используем формулу биномиального распределения:

$$P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$

где:

• $C(n, k)$ — биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n-k)!}$
• $k$ — количество успешных исходов (в нашем случае 1)
• $n$ — общее количество испытаний (в нашем случае 5)

Подставим значения:

$$P(X = 1) = C(5, 1) \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^{5-1}$$

Сначала найдем биномиальный коэффициент:

$$C(5, 1) = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5 \cdot 4!}{1 \cdot 4!} = 5$$

Теперь подставим это значение в формулу:

$$P(X = 1) = 5 \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^4$$

Теперь вычислим $(0.9)^4$:

$$(0.9)^4 = 0.6561$$

Теперь подставим это значение:

$$P(X = 1) = 5 \cdot 0.1 \cdot 0.6561 = 5 \cdot 0.06561 = 0.32805$$

Таким образом, вероятность того, что страховой случай наступит один раз, составляет:

$$P(X = 1) \approx 0.328$$

Вероятность того, что страховой случай наступит хотя бы один раз, можно найти, используя дополнение к вероятности того, что страховой случай не наступит ни разу:

$$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$$

Теперь найдем вероятность того, что страховой случай не наступит ни разу:

$$P(X = 0) = C(5, 0) \cdot (0.1)^0 \cdot (0.9)^{5}$$

Сначала найдем биномиальный коэффициент:

$$C(5, 0) = 1$$

Теперь подставим значения:

$$P(X = 0) = 1 \cdot (0.1)^0 \cdot (0.9)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (0.9)^5$$

Теперь вычислим $(0.9)^5$:

$$(0.9)^5 = 0.59049$$

Теперь подставим это значение:

$$P(X = 0) = 0.59049$$

Теперь найдем вероятность того, что страховой случай наступит хотя бы один раз:

$$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0.59049 = 0.40951$$

Таким образом, вероятность того, что страховой случай наступит хотя бы один раз, составляет:

$$P(X \geq 1) \approx 0.410$$

а) Вероятность того, что страховой случай наступит один раз: $\approx 0.328$
б) Вероятность того, что страховой случай наступит хотя бы один раз: $\approx 0.410$