Диск массой 5 кг и радиусом 10 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения диска имеет вид φ(t) = φ0 + 2t  t 3 , рад. Найти закон изменения момента сил, действующего на диск. Вычислите момент сил в момент времени 4 с.

Для решения задачи, давайте разберем её по шагам.

Шаг 1: Найдем угловое ускорение диска

Уравнение вращения диска задано как:
\[
\phi(t) = \phi_0 + 2t - t^3
\]

Чтобы найти угловое ускорение, нам нужно дважды продифференцировать это уравнение по времени \(t\).

1. Перво...: \[ \omega(t) = \frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(2t - t^3) = 2 - 3t^2 \] 2. : \[ \alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(2 - 3t^2) = -6t \] Момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр, можно вычислить по формуле: \[ I = \frac{1}{2} m r^2 \] где \(m = 5 \, \text{кг}\) и \(r = 0.1 \, \text{м}\) (10 см). Подставим значения: \[ I = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (0.1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 0.01 = 0.025 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \] Момент сил \(M\) можно найти по формуле: \[ M = I \cdot \alpha \] Теперь подставим значения для момента инерции и углового ускорения. Сначала найдем угловое ускорение в момент времени \(t = 4 \, \text{с}\): \[ \alpha(4) = -6 \cdot 4 = -24 \, \text{рад/с}^2 \] Теперь подставим в формулу для момента сил: \[ M = 0.025 \cdot (-24) = -0.6 \, \text{Н} \cdot \text{м} \] Для оси, проходящей через половину радиуса, используем теорему Штейнера: \[ I = I_{центр} + m d^2 \] где \(d\) — расстояние от новой оси до центра диска. В нашем случае \(d = 0.05 \, \text{м}\) (половина радиуса). Подставим значения: \[ I = 0.025 + 5 \cdot (0.05)^2 = 0.025 + 5 \cdot 0.0025 = 0.025 + 0.0125 = 0.0375 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \] 1. Закон изменения момента сил: \(M(t) = 0.025 \cdot (-6t)\) 2. Момент сил в момент времени \(t = 4 \, \text{с}\): \(M = -0.6 \, \text{Н} \cdot \text{м}\) 3. Момент инерции диска относительно оси, проходящей через половину радиуса: \(I = 0.0375 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\)