Для частицы в периодическом потенциале вида (идеальный бесконечный «кристалл», см. рис. 14) найти систему независимых решений уравнения Шрёдингера для произвольного значения . Определить энергетический спектр частицы.

Здравствуйте! Это классическая задача из квантовой механики, связанная с моделью Кронига-Пенни (или, в данном случае, с одномерным периодическим потенциалом, состоящим из дельта-функций).

Вот пошаговое решение этой задачи.

1. Дано

• Потенциал: Периодический потенциал, заданный суммой дельта-функций:
  $$U(x) = \alpha \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(x-na)$$
  где $\alpha$ — константа, $a$ — период решетки, $n$ — целое число.
• Уравнение: Стационарное уравнение Шрёдингера:
  $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + U(x) \psi(x) = E \psi(x)$$