Задание Д31 для СМ1-61Б, СМ1И-61Б, 65Б Часть 1. Определение внутренних сил в круговом кольце методом сопряжения участков при нагружении в плоскости кольца. Часть 2. Определение перемещений в кольце методом разложения внешней нагрузки в тригонометрические

24 октября 2025
Теоретическая механика

Условие:

Задание Д31 для СМ1-61Б, СМ1И-61Б, 65Б
Часть 1. Определение внутренних сил в круговом кольце методом сопряжения участков при нагружении в плоскости кольца.
Часть 2. Определение перемещений в кольце методом разложения внешней нагрузки в тригонометрические ряды.
1. Для предложенного кольца определить следующие внутренние силы:
- растягивающую силу \( N(\varphi) \);
- перерезывающую силу \( Q(\varphi) \);
- изгибающий момент \( M(\varphi) \)

методом сопряжения участков.
Результат представить в виде аналитических зависимостей (формул).
2. Построить эпюры указанных внутренних сил в пределах \( \varphi \in[0,2 \pi] \)

3*. Очень желательно - поможет заметить и справить возможные ошибки:
проверить выполнение интегральных условий для полученного изгибающего момента:
- для прямой симметрии \( \quad \int{0}^{\pi} M d \varphi=0 ; \quad \int{0}^{\pi} M \cos \varphi d \varphi=0 \);
- для косой симметрии \( \quad \int_{0}^{\pi} M \sin \varphi d \varphi=0 \).

Важно: необходимо заново набивать в MathCad решение для \( M(\varphi) \).
4. Определить касательное перемещение \( v(\varphi) \) и прогиб \( w(\varphi) \) в кольце методом разложения внешней нагрузки в тригонометрические ряды.

Решение:

Для решения задачи Д31, давайте разберем ее по частям.

Часть 1: Определение внутренних сил в круговом кольце методом сопряжения участков

1. Определение внутренних сил:

Для кругового кольца, нагруженного в плоскости, мы можем использовать метод сопряжения участков. Предположим, что кольцо имеет радиус \( R \) и длину \( L = 2\pi R \).

- Растягивающая сила...: \[ N(\varphi) = N0^{\varphi} q(\theta) R d\theta \] где \( N_0 \) — начальная растягивающая сила, а \( q(\theta) \) — распределенная нагрузка. - : \[ Q(\varphi) = Q0^{\varphi} N(\theta) d\theta \] где \( Q_0 \) — начальная перерезывающая сила. - : \[ M(\varphi) = M0^{\varphi} Q(\theta) d\theta \] где \( M_0 \) — начальный изгибающий момент. 2. Для построения эпюр внутренних сил, необходимо подставить конкретные значения для \( N(\varphi) \), \( Q(\varphi) \) и \( M(\varphi) \) в зависимости от нагрузки \( q(\varphi) \) и проанализировать их на интервале \( \varphi \in [0, 2\pi] \). 3. : - Для прямой симметрии: \[ \int_{0}^{\pi} M(\varphi) d\varphi = 0 \] \[ \int_{0}^{\pi} M(\varphi) \cos \varphi d\varphi = 0 \] - Для косой симметрии: \[ \int_{0}^{\pi} M(\varphi) \sin \varphi d\varphi = 0 \] Эти условия должны быть проверены для полученного выражения \( M(\varphi) \). Если они не выполняются, необходимо пересмотреть расчет. 4. : Для определения перемещений можно использовать метод разложения внешней нагрузки в тригонометрические ряды. - : \[ v(\varphi) = \int_0^{\varphi} \frac{M(\theta)}{EI} d\theta \] где \( E \) — модуль Юнга, \( I \) — момент инерции. - : \[ w(\varphi) = \int_0^{\varphi} v(\theta) d\theta \] Теперь, имея все необходимые формулы, вы можете подставить конкретные значения для \( N0 \), \( M_0 \) и \( q(\varphi) \) в ваши уравнения, чтобы получить конкретные аналитические зависимости для внутренних сил и перемещений. После этого выполните интеграцию и проверьте условия симметрии.