Два одинаковых стержня длины l шарнирно закреплены в верхних точках. Их нижние концы соединены пружиной жесткости K. В положении равновесия стержни вертикальны, пружина нерастянута. Требуется найти частоты нормальных колебаний системы. Решить без

Для решения задачи о нормальных колебаниях системы из двух стержней и пружины, начнем с анализа системы в положении равновесия и затем рассмотрим малые отклонения от этого положения.

Шаг 1: Определение системы

У нас есть два одинаковых стержня длины \( l \), которые шарнирно закреплены в верхних точках. В нижних концах стержни соединены пружиной жесткости \( K \). В положении равновесия стержни находятся в вертикальном положении, а пружина нерастянута.

Шаг 2: Моделирование ...

Обозначим угол отклонения каждого стержня от вертикали как \( \theta2 \). При малых отклонениях можно использовать приближение \( \sin(\theta) \approx \theta \). При отклонении стержней под действием силы тяжести на каждый стержень будет действовать момент силы, который можно выразить как: \[ M1) \approx m g \cdot \frac{l}{2} \cdot \theta_1 \] \[ M2) \approx m g \cdot \frac{l}{2} \cdot \theta_2 \] где \( m \) — масса одного стержня, \( g \) — ускорение свободного падения. Пружина, соединяющая нижние концы стержней, будет создавать момент, который будет зависеть от разности углов отклонения: \[ M1 - x_2) \] где \( x2 \) — горизонтальные смещения нижних концов стержней, которые можно выразить через углы: \[ x1) \approx l \theta2 = l \sin(\theta2 \] Таким образом, момент от пружины будет равен: \[ M1 - l \theta1 - l \theta_2) \] Для каждого стержня можно записать уравнение движения: \[ I \frac{d^2 \theta1 + Kl(l \theta2) \] \[ I \frac{d^2 \theta2 + Kl(l \theta1) \] где \( I \) — момент инерции стержня относительно верхней точки, который равен \( \frac{1}{3} m l^2 \). Запишем уравнения в матричной форме: \[ \begin{pmatrix} I \frac{d^2 \theta_1}{dt^2} \\ I \frac{d^2 \theta_2}{dt^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{m g l}{2} + Kl^2 -Kl^2 \\ -Kl^2 -\frac{m g l}{2} + Kl^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix} \] Для нахождения частот нормальных колебаний решим характеристическое уравнение: \[ \det\left( \begin{pmatrix} -\frac{m g l}{2} + Kl^2 - \omega^2 I -Kl^2 \\ -Kl^2 -\frac{m g l}{2} + Kl^2 - \omega^2 I \end{pmatrix} \right) = 0 \] Решив это уравнение, мы получим собственные частоты \( \omega2 \). Собственные частоты нормальных колебаний системы можно выразить как: \[ \omega^2 = \frac{K}{I} + \frac{m g}{l} \] где \( I = \frac{1}{3} m l^2 \). Таким образом, частоты нормальных колебаний системы будут: \[ \omega2 = \sqrt{\frac{K}{\frac{1}{3} m l^2} + \frac{m g}{l}} \] Это и есть искомые частоты нормальных колебаний системы.