Исследовать продольные колебания стержня, конец которого закреплен, а к концу приложена сила . Начальные условия считать нулевыми.

Добавлена: 13.05.2026
Обновлена: 13.05.2026
Предмет: Теоретическая механика
Автор: Кэмп

#Теория колебаний
#Механика сплошной среды

Исследовать продольные колебания стержня, конец которого закреплен, а к концу приложена сила . Начальные условия считать нулевыми.

Условие:

Исследовать продольные колебания стержня, конец $x=0$ которого закреплен, а к концу $x=$ $l$ приложена сила $F=B \exp (-\alpha t)$ . Начальные условия считать нулевыми.

\left(\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=l}=\frac{B \exp (-\alpha t)}{E S}\right)

Решение:

Уравнение движения стержня:
$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
где $u(x, t)$ - смещение стержня, $c = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$ - скорость продольной волны в стержне, $E$ - модуль Юнга, $\rho$ - плотность материала стержня.
Условия задачи:
- Конец стержня при $x = 0$ закреплен, то есть:
  $u(0, t) = 0$
- На конце стержня при $x = l$ приложена сила $F = B \exp(-\alpha t)$ . Это приводит к условию на производную смещения:
  $\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=l} = \frac{B \exp(-\alpha t)}{E S}$
  где $S$ - площадь поперечного сечения стержня.
Решение уравнения: Мы ищем решение в виде:
$u(x, t) = X(x)T(t)$
Подставляем это в уравнение движения и разделяем переменные:
$\frac{T''(t)}{c^2 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda$
Это приводит к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям:
$T''(t) + \lambda c^2 T(t) = 0$

$X''(x) + \lambda X(x) = 0$
Решение для $X(x)$ : Общее решение для $X(x)$ :
$X(x) = A \cos(\sqrt{\lambda} x) + B \sin(\sqrt{\lambda} x)$
Условие $u(0, t) = 0$ дает $A = 0$ , следовательно:
$X(x) = B \sin(\sqrt{\lambda} x)$
Условие на конце стержня: Подставляем в условие на конце стержня:
$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=l} = B \sqrt{\lambda} \cos(\sqrt{\lambda} l) T(t) = \frac{B \exp(-\alpha t)}{E S}$
...