14. Маховик, радиуса R, начинает вращаться с постоянным угловым ускорением β{1}, достигнув угловой скорости ω, некоторое время вращается равномерно, затем тормозится (с постоянным угловым ускорением β{2} ) до остановки. Определить: время вращения

Для решения задачи, давайте разберем ее по шагам.

Шаг 1: Определение времени вращения маховика

1. Угловое ускорение и угловая скорость:
- Начальное угловое ускорение: \( \beta_1 \)
- Конечная угловая скорость: \( \omega \)
- Угловое ускорение при торможении: \( \beta_2 \)

2. Время разгона:
Используем формулу для углового ускорения:
\[
\omega = \beta1 t1 \quad \Rightarrow \quad t1 = \frac{\omega}{\beta1}
\]
где \( t_1 \) — время разгона.

3. Угловое перемещение при разгоне:
Угловое перемещение во время разгона:
\[
\theta1 = \frac{1}{2} \beta1 t1^2 = \frac{1}{2} \beta1 \left(\frac{\omega}{\beta1}\right)^2 = \frac{\omega^2}{2\beta1}
\]

4. В...: Обозначим время равномерного вращения как \( t_2 \). Угловое перемещение за это время: \[ \theta2 \] 5. : Время торможения \( t_3 \): \[ 0 = \omega - \beta3 \quad \Rightarrow \quad t2} \] 6. : Угловое перемещение во время торможения: \[ \theta3 - \frac{1}{2} \beta3^2 = \omega \left(\frac{\omega}{\beta2 \left(\frac{\omega}{\beta2} - \frac{\omega^2}{2\beta2} \] 7. : Общее угловое перемещение: \[ \theta = \theta2 + \theta1} + \omega t2} \] Учитывая, что маховик сделал \( N \) оборотов: \[ \theta = 2\pi N \] 8. : Подставим и решим уравнение: \[ 2\pi N = \frac{\omega^2}{2\beta2 + \frac{\omega^2}{2\beta_2} \] Из этого уравнения можно выразить \( t_2 \): \[ t1} - \frac{\omega^2}{2\beta_2}}{\omega} \] 1. : Тангенциальное ускорение в конце равномерного движения: \[ a2 R \] 2. : Нормальное ускорение в конце равномерного движения: \[ a_n = \frac{\omega^2 R}{R} = \omega^2 \] 3. : Полное ускорение: \[ a = \sqrt{an^2} = \sqrt{(\beta_2 R)^2 + (\omega^2)^2} \] Угол \( \phi \) между полным ускорением и радиусом можно найти с помощью тангенса: \[ \tan(\phi) = \frac{an} = \frac{\beta_2 R}{\omega^2} \] Следовательно, \[ \phi = \arctan\left(\frac{\beta_2 R}{\omega^2}\right) \] 1. \( a_t(t) \): - Постоянное значение \( \beta_1 R \) на первом участке (разгон). - Ноль на втором участке (равномерное движение). - Отрицательное значение \( -\beta_2 R \) на третьем участке (торможение). 2. \( a_n(t) \): - Увеличивается от нуля до \( \omega^2 R \) на первом участке. - Остается постоянным на втором участке. - Уменьшается до нуля на третьем участке. 3. \( a(t) \): - Начинается с \( \sqrt{(\beta_1 R)^2 + 0} \) на первом участке. - Постоянное значение на втором участке. - Уменьшается до \( \sqrt{0 + (\omega^2)^2} \) на третьем участке. Эти графики показывают изменение ускорений в зависимости от времени.