На цилиндр намотана тонкая гибкая нерастяжимая лента, мас-сой которой по сравнению с массой цилиндра можно пренебречь. Свободный конец ленты прикрепили к кронштейну и предоставили цилиндру опускаться под действием силы тяжести. Определить линей-ное

Для решения задачи о движении цилиндра с намотанной на него лентой,...

- Масса цилиндра \( m \) - Радиус цилиндра \( R \) - Ускорение свободного падения \( g \) Когда цилиндр начинает опускаться, на него действуют две силы: 1. Сила тяжести \( F_g = mg \) 2. Тension (натяжение) в ленте \( T \) Цилиндр будет вращаться и перемещаться вниз. Мы можем записать уравнение движения для цилиндра: \[ mg - T = ma \] где \( a \) — линейное ускорение цилиндра. Также, учитывая, что цилиндр вращается, мы можем записать уравнение для момента сил: \[ T \cdot R = I \cdot \alpha \] где \( I \) — момент инерции цилиндра, \( \alpha \) — угловое ускорение. Для сплошного цилиндра момент инерции равен: \[ I = \frac{1}{2} m R^2 \] Связь между линейным и угловым ускорением: \[ \alpha = \frac{a}{R} \] Подставим это в уравнение момента сил: \[ T \cdot R = \frac{1}{2} m R^2 \cdot \frac{a}{R} \] Упрощая, получаем: \[ T = \frac{1}{2} ma \] Теперь подставим это значение \( T \) в уравнение движения: \[ mg - \frac{1}{2} ma = ma \] Соберем все \( a \) в одну сторону: \[ mg = ma + \frac{1}{2} ma \] \[ mg = \frac{3}{2} ma \] Теперь выразим \( a \): \[ a = \frac{2g}{3} \] Для полого цилиндра момент инерции равен: \[ I = m R^2 \] Аналогично, у нас есть уравнение движения: \[ mg - T = ma \] И уравнение момента сил: \[ T \cdot R = I \cdot \alpha \] Подставим момент инерции: \[ T \cdot R = m R^2 \cdot \frac{a}{R} \] Упрощая, получаем: \[ T = ma \] Теперь подставим это значение \( T \) в уравнение движения: \[ mg - ma = ma \] Соберем все \( a \) в одну сторону: \[ mg = 2ma \] Теперь выразим \( a \): \[ a = \frac{g}{2} \] 1. Для сплошного цилиндра: \( a = \frac{2g}{3} \) 2. Для полого тонкостенного цилиндра: \( a = \frac{g}{2} \)