Найти момент инерции эллипсоида относительно оси Z. Поверхность эллипсоида задается уравнением Масса эллипсоида равна . (Объем эллипсоида )

Добавлена: 02.06.2026
Обновлена: 02.06.2026
Предмет: Теоретическая механика
Автор: Кэмп

#Динамика материальной точки и системы
#Кинематика и динамика твердого тела

Условие:

Найти момент инерции эллипсоида относительно оси Z. Поверхность эллипсоида задается уравнением

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

Масса эллипсоида равна $M$ . (Объем эллипсоида $V=\frac{4}{3} \pi a^{2} c$ )

Решение:

1. Дано

Уравнение поверхности эллипсоида: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$
Масса эллипсоида: $M$
Объем эллипсоида: $V = \frac{4}{3} \pi a^2 c$
Плотность (предполагаем, что эллипсоид однородный): $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi a^2 c} = \frac{3M}{4\pi a^2 c}$

2. Найти

Момент инерции $I_z$ относительно оси $Z$ .

3. Решение

Момент инерции относительно оси $Z$ определяется интегралом:

\nI_z = \iiint_V \rho (x^2 + y^2) \, dx \, dy \, dz

Для удобства вычисления перейдем к обобщенным сферическим координатам:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При вычислении момента инерции эллипсоида относительно оси Z, какой вид имеет подынтегральное выражение для момента инерции $I_z$ в декартовых координатах?

$I_z = \iiint_V \rho (x^2 + y^2 + z^2) \, dx \, dy \, dz$