Условие:
Определить собственный кватернион в подвижных осях при развороте твердого тела на угол тангажа υ = 30°, затем на угол рыскания ψ = 30°.
Решение:
Чтобы определить собственный кватернион для подвижных осей при развороте твердого тела на угол тангажа (pitch) υ = 30° и затем на угол рыскания (ya...
Сначала преобразуем углы из градусов в радианы: - υ = 30° = \( \frac{\pi}{6} \) радиан - ψ = 30° = \( \frac{\pi}{6} \) радиан Кватернион для вращения на угол θ вокруг оси z (рыскание) можно записать как: \[ q_z = \left( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right), 0, 0, \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \right) \] Для угла ψ = 30°: \[ q_z = \left( \cos\left(\frac{\pi/6}{2}\right), 0, 0, \sin\left(\frac{\pi/6}{2}\right) \right) \] \[ q_z = \left( \cos\left(\frac{\pi}{12}\right), 0, 0, \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \right) \] \[ q_z = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, 0, 0, \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right) \] Кватернион для вращения на угол θ вокруг оси y (тангаж) можно записать как: \[ q_y = \left( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right), 0, \sin\left(\frac{\theta}{2}\right), 0 \right) \] Для угла υ = 30°: \[ q_y = \left( \cos\left(\frac{\pi/6}{2}\right), 0, \sin\left(\frac{\pi/6}{2}\right), 0 \right) \] \[ q_y = \left( \cos\left(\frac{\pi}{12}\right), 0, \sin\left(\frac{\pi}{12}\right), 0 \right) \] \[ q_y = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, 0, \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}, 0 \right) \] Теперь мы перемножим кватернионы \( qz \) для получения итогового кватерниона \( q \): \[ q = qz \] Формула для умножения двух кватернионов \( q1, x1, z2 = (w2, y2) \): \[ q = (w2 - x2 - y2 - z2, \] \[ w2 + x2 + y2 - z2, \] \[ w2 - x2 + y2 + z2, \] \[ w2 + x2 - y2 + z2) \] Подставим значения кватернионов \( qz \): - \( q_y = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, 0, \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}, 0 \right) \) - \( q_z = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, 0, 0, \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right) \) Теперь подставим в формулу: 1. \( w = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 0 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0 - 0 \) 2. \( x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot 0 + 0 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - 0 \) 3. \( y = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - 0 + 0 + 0 \cdot 0 \) 4. \( z = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot 0 + 0 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0 + 0 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \) После вычислений мы получим итоговый кватернион \( q \). Таким образом, собственный кватернион для заданного разворота твердого тела на угол тангажа 30° и угол рыскания 30° будет: \[ q = (w, x, y, z) \] Собственный кватернион для разворота твердого тела на угол тангажа 30° и угол рыскания 30° можно выразить как: \[ q = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, 0, \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}, 0 \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, 0, 0, \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right) \] Это и будет искомый кватернион.